В сферической системе координат положение точки определяется тремя величинами:
- r - расстояние от начала координат до точки
- θ (тета) - угол между вектором и осью z
- φ (фи) - угол между проекцией вектора на плоскость xy и осью x
Преимущества стандартной системы
1. Геометрическая интуитивность
При вращении вокруг оси z (изменении φ) радиус-вектор описывает окружность в горизонтальной плоскости. Это соответствует нашему интуитивному представлению о вращении и делает систему естественной для описания вращательного движения.
2. Простой якобиан преобразования
Элемент объёма в сферических координатах имеет вид:
dV = r² sin(θ) dr dθ dφ
Множитель sin(θ) имеет ясный геометрический смысл - он учитывает уменьшение длины параллелей (окружностей постоянной θ) при приближении к оси z.
3. Связь с географическими координатами
В текущей системе:
- φ соответствует долготе
- π/2 - θ соответствует широте
Это делает систему особенно удобной для задач навигации и небесной механики.
Что было бы при альтернативных определениях?
Вариант 1: Оба угла как углы с осями
Если определить углы α (с осью x) и β (с осью z), то:
- Углы станут зависимыми - они не смогут принимать произвольные значения независимо друг от друга
- Якобиан преобразования существенно усложнится
- Потеряется простая связь с цилиндрическими координатами
Вариант 2: Оба угла после проекции
При таком определении возникнут проблемы:
- Потеряется однозначность описания точек
- Усложнится описание движения по поверхности сферы
- Формулы преобразования координат станут более громоздкими
Заключение
Асимметрия в определении углов сферической системы координат - это не недостаток, а продуманное решение, делающее систему максимально удобной для практического применения. Особенно это проявляется в задачах с выделенной осью (например, ось вращения планеты) и при необходимости вычисления интегралов в сферических координатах.
