Мы живём в оазисе порядка. Вокруг — бесконечность, которой плевать на математику и физику

Зимой 2025 года, в уединённой финской деревне за Полярным кругом, группа математиков собралась, чтобы обсудить одну из самых загадочных тем современной логики. Вместо катания на лыжах Хуан Агилера, исследователь из Технического университета Вены, рассказывал коллегам о двух новых типах бесконечностей, которые он недавно описал в совместной научной работе . Эти объекты оказались настолько необычными, что поставили под сомнение стройность всей существующей теории множеств.

Речь идёт о так называемых кардинальных числах — способе количественного описания множеств, не имеющих предела. Идея кардиналов восходит к 1870-м годам, когда Георг Кантор впервые доказал: не все бесконечности одинаковы. Например, множество всех вещественных чисел «больше» по мощности, чем множество всех натуральных — потому что между любыми двумя числами можно вставить бесконечно много других. Так возникла идея сравнивать такие бесконечности по их „размеру“ — через взаимно однозначное соответствие между элементами.

Кантор также показал, что из любого бесконечного множества можно построить ещё более обширное — например, взяв множество всех его подмножеств. Это положило начало бесконечной иерархии кардиналов — своеобразной лестнице, на каждой ступени которой стоят множества всё большей мощности.

Позднее логики начали изучать более «экзотические» уровни — так называемые большие кардиналы. В отличие от обычных, они требуют специальных аксиом для своего существования, выходящих за пределы стандартной системы ZFC (аксиоматика Зермело–Френкеля с аксиомой выбора). Несмотря на эту сложность, большие кардиналы выстраиваются в строгую иерархию: каждый следующий строго превосходит предыдущий, а с их помощью можно доказывать всё более фундаментальные утверждения о структуре математического мира.

Однако кардиналы, предложенные Агилерой, Жоаном Багарией из Барселоны и Филиппом Люке из Гамбурга, выбиваются из привычной схемы. Сначала они казались естественным продолжением известной иерархии, но при попытке взаимодействия с другими кардиналами начали вести себя неожиданно. Их «суммарная» мощность оказалась не просто больше — она выходила далеко за пределы предсказуемого. В математических терминах это называют «взрывным ростом» — эффект, ранее не наблюдавшийся при работе с бесконечностями.

Авторы дали этим объектам названия exacting («требовательные») и ultraexacting («сверхтребовательные») кардиналы. Эти термины подчеркивают, что множества, к которым они применимы, должны удовлетворять особенно строгим условиям — как будто сами «требуют» более глубокой структурной организации. При этом такие кардиналы не нарушают аксиому выбора и формально соответствуют духу теории больших кардиналов.

Однако у них есть особенность: они не укладываются в рамки системы HOD — множества, определимые исключительно через порядковые числа и базовые логические конструкции. Согласно гипотезе HOD, математическая Вселенная V либо близка к этим строго упорядоченным структурам, либо кардинально отличается от них. Новые кардиналы, похоже, подтверждают второе.

Этот вопрос особенно важен на фоне проекта Ultimate L, над которым десятилетиями работает математик Хью Вудин. Его цель — построить внутреннюю модель, максимально приближающуюся к полной математической Вселенной и содержащую все мыслимые большие кардиналы. По замыслу Вудина, если в такой модели существует хотя бы один «суперкомпактный» кардинал, то автоматически предполагается существование всех более «высоких». Это дало бы цельную и завершённую картину бесконечности.

Но появление требовательных и сверхтребовательных кардиналов вносит в эту картину хаос. По словам Багарии, они указывают на область математической реальности, настолько «дикую» и неупорядоченную, что она уже не может быть равна HOD. Как и тёмная материя во Вселенной физической, эти структуры могут существовать и влиять на всё остальное — но оставаться скрытыми от прямого описания.

Следующий важный шаг — убедиться, что новые кардиналы не противоречат аксиомам ZFC. Без этого их нельзя считать частью строгой математики. Исследователи уже показали: по своим свойствам эти объекты ведут себя аналогично признанным большим кардиналам. Более того, если известный кардинал не вызывает противоречий, то и сверхтребовательный — с высокой вероятностью — тоже будет согласован с базовой логикой.

Тем не менее, не все разделяют этот оптимизм. Гейб Голдберг из Беркли напоминает, что в теории бесконечностей даже мельчайшие детали могут иметь огромные последствия: нестабильные доказательства или скрытые парадоксы могут разрушить всю построенную структуру. Сам Вудин, несмотря на новые данные, продолжает придерживаться своего плана и считает, что упорядоченная модель Вселенной всё ещё возможна.

Для многих логиков новое открытие стало поводом к переосмыслению старых взглядов. Если теория Ultimate L окажется верной, бесконечности упорядочены, и математическая реальность предсказуема. Если же нет — нас ждёт мир, полный ранее неизвестных структур, скрытых в недрах бесконечного. Как показывает работа по неразрешимым задачам , даже в фундаментальных областях может скрываться неведомое. Агилера подытоживает: «Математика бесконечна. А вот время у нас ограничено». Возможно, именно сейчас — лучший момент, чтобы шагнуть в эту бездну.