Странно изогнутые формы опровергают геометрическую гипотезу 50-летней давности

Недавнее открытие в области топологии опровергло давнее предположение и показало, что математические формы могут быть гораздо более сложными, чем предполагалось ранее.

В старой индийской притче шесть слепых мужчин, ощупывая разные части слона, не могли прийти к единому мнению о его внешности. Они спорили, представляя слона то гладким, то шероховатым, сравнивая его с змеей или веером. Если бы они объединили свои наблюдения, возможно, смогли бы дать правильное описание слона. Топологи долгое время старались избегать подобной ошибки, пытаясь охарактеризовать математические формы, синтезируя множество локальных измерений. Однако недавно обнаруженные парадоксально изогнутые пространства показали, что это не всегда возможно.

Топологи исследуют формы, растягивая и сжимая их. Например, бесконечно тонкая резинка с топологической точки зрения эквивалентна кругу, поскольку ее можно легко деформировать в круглую форму. Обычно топологи характеризуют формы по их глобальным свойствам: имеют ли они дыры, как пончик, или простираются бесконечно, как плоскость. Тем не менее, глобальную природу топологических форм трудно воспринимать напрямую, и поэтому математики стремятся понять их связь с локальными геометрическими свойствами, такими как кривизна.

В 1968 году известный математик Д жон Милнор предположил, что средняя кривизна полной формы достаточна, чтобы утверждать, что она не может иметь бесконечно много дыр. В течение следующих 50 лет многие результаты поддерживали это предположение. Но в 2020 году Элиа Брюе и его коллеги обнаружили контрпример, построив новый тип топологической формы. Это открытие стало значительным событием в математике.

Для понимания предположения Милнора полезно сначала рассмотреть, как топологи и геометры думают о кривизне. Оба изучают многообразия — пространства, которые кажутся плоскими при увеличении. Например, маленький муравей на поверхности сферы или пончика будет воспринимать свое непосредственное окружение как двухмерную плоскость. Но при движении он заметит, что пространство начинает изгибаться.

Кривизна является локальным свойством: каждая точка на многообразии имеет свою кривизну. Для поверхности двухмерного многообразия кривизну можно измерить в любом направлении, установив окружность подходящего размера. На удивление, можно определить кривизну поверхности в одной точке всего одним числом, называемым гауссовой кривизной. Это число обобщает информацию о том, как поверхность изгибается, и является внутренним свойством, не зависящим от пространства, в которое может быть помещена поверхность.

В трех и более измерениях полезную информацию о кривизне уже не удается получить одним числом. Вместо этого математики используют тензоры, которые можно представить как массивы чисел, трансформирующиеся по определенным математическим правилам. Одним из важных тензоров является тензор Риччи , который обобщает важную информацию в сравнительно простой форме. Милнор предположил, что полные многообразия с неотрицательной кривизной Риччи в каждой точке не могут иметь бесконечное число дыр.

Однако спустя более полувека Брюе, вместе с коллегами Аароном Набером и Даниэле Семолой, доказали, что это предположение неверно. После двух лет неудачных попыток доказать его они построили странное семимерное многообразие с неотрицательной кривизной Риччи в каждой точке и бесконечным числом дыр. Это открытие продемонстрировало, что формы с неотрицательной кривизной Риччи могут быть более гибкими и менее предсказуемыми, чем считалось ранее.

Результаты исследования Брюе, Набера и Семолы показали, что математическое понимание форм и их свойств все еще далеко от завершения, открывая новые горизонты для дальнейших исследований.