Разгадка √2: от кризиса к триумфу математической мысли

Древние греки верили, что всю Вселенную можно описать с помощью целых чисел и дробей, которые мы сейчас называем рациональными числами. Это убеждение было фундаментальным для их понимания мира и математики. Однако эта уверенность была поколеблена, когда они столкнулись с простой геометрической задачей: вычислением длины диагонали квадрата со стороной 1.

К своему удивлению, греческие математики обнаружили, что длину этой диагонали невозможно выразить никакой дробью. Это открытие, известное как несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, стало первым примером иррационального числа в истории математики.

Традиционно, первое доказательство иррациональности √2 (длины диагонали квадрата со стороной 1) приписывается Пифагору, выдающемуся философу и математику VI века до нашей эры. Хотя его оригинальные работы не сохранились, влияние этого открытия было огромным. Оно не только подорвало пифагорейскую философию чисел, но и спровоцировало первый серьезный кризис в основаниях математики.

Этот кризис оставался нерешенным на протяжении долгого времени. Хотя древние греки могли установить, что корень из двух не является рациональным числом, у них не было языка, чтобы объяснить, что это такое.

На протяжении тысячелетий математики манипулировали иррациональными числами для решения алгебраических уравнений. Современные обозначения квадратных корней появились в 16-17 веках, но иррациональные числа оставались загадкой. Вопрос о том, существует ли корень из двух так же, как и число два, оставался неясным.

В середине 1800-х годов Рихард Дедекинд осознал, что исчисление, разработанное Ньютоном и Лейбницем, стоит на шатком фундаменте. Этот сдержанный, но одаренный математик, который работал медленно и сравнительно мало публиковал, готовился преподавать своим студентам непрерывные функции, когда понял, что не может дать удовлетворительного объяснения того, что означает непрерывность функции.

Дедекинд пришел к выводу, что для объяснения функций необходимо хорошее понимание чисел, которое математики, казалось, считали само собой разумеющимся. Он задался вопросом: как можно быть уверенным, что корень из двух, умноженный на корень из трех, равен корню из шести? Для этого он предложил способ определения иррациональных чисел с использованием только рациональных чисел. Его метод заключался в следующем: разделить все рациональные числа на два набора так, чтобы все дроби в одном наборе были меньше, чем в другом. Например, в одну группу собрать все рациональные числа, квадраты которых меньше двух; в другую — все рациональные числа, квадраты которых больше двух. Пробел между этими двумя множествами и есть иррациональное число, которое математики обозначили как корень из двух. Дедекинд определил иррациональное число как пару бесконечных множеств рациональных чисел, создающих так называемый разрез. Таким образом, он заполнил всю числовую линию, впервые строго определив действительные числа, включающие как рациональные, так и иррациональные числа.

Примерно в то же время, когда Дедекинд ввел свои разрезы, его друг и соратник Георг Кантор начал разрабатывать свое определение иррациональных чисел. Он выразил каждое из них в виде последовательностей рациональных чисел, приближающихся к определенному иррациональному значению. Хотя методы Кантора и Дедекинда изначально казались разными, позднее было доказано, что они математически эквивалентны.

Работа Кантора привела к важному открытию: существует больше иррациональных чисел, чем целых чисел или дробей, что показало, что бесконечность бывает разных размеров. Кантор был первым, кто осознал, что числовая линия более многолюдна и странна, чем предполагалось.

Эмми Нётер , выдающийся математик начала XX века и основоположница современной абстрактной алгебры, высоко ценила работы Дедекинда. По свидетельствам современников, она часто говорила своим ученикам: «Все уже есть в Дедекинде».

Сокращения Дедекинда положили начало современной математике. Они позволили математикам лучше понять последовательности и функции, что укрепило основы, заложенные Лейбницем и Ньютоном, и расширило их. Работа Дедекинда и его последователей открыла новые горизонты для исследований, позволив математикам изобретать новые концепции и существенно расширить представление о математике.