От пчелиных сот к восьмиугольнику: Разгадана вековая математическая задача

Долгое время математики считали, что шестиугольные плитки — лучший способ заполнения пространства. В 1999 году Томас Хейлс из Университета Питтсбурга доказал это, показав, что шестиугольники превосходят квадраты, треугольники и другие фигуры по эффективности заполнения площади с минимизацией периметра каждой плитки.

Однако не все фигуры можно разместить без зазоров. Например, круги оставляют около 9.31% пустого пространства в лучшей упаковке, образующей шестиугольный узор.

В 1920-х годах математики задались вопросом: какая фигура является наихудшей для упаковки, то есть оставляет наибольшее количество пустого пространства? Новый прорыв в этой области совершили Томас Хейлс и его бывший аспирант Коундинья Ваджха, ныне инженер в Intel.

Определение худшей фигуры требует соблюдения некоторых правил. Исключение фигур с отверстиями или вогнутыми краями, как у полых квадратов, делает задачу более интересной. Учитываются только выпуклые и центрально симметричные фигуры.

До сих пор считалось, что наихудшей фигурой является семиугольник, заполняющий около 89.27% пространства. Однако доказать это не удавалось. Хейлс и Ваджха сфокусировались на более простой задаче — найти наихудшую выпуклую и центрально симметричную фигуру.

В 1934 году немецкий математик Карл Рейнхардт предложил восьмиугольник с округлыми краями, который оставляет около 9.76% пустого пространства. Это значение близко к кругу, но Рейнхардт не смог доказать, что его восьмиугольник — наихудший. Этот вопрос оставался открытым до недавнего времени.

Хейлс и Ваджха в своем исследовании использовали теорию оптимального управления для изучения фигур со смешанными прямыми и кривыми линиями. Их работа включала анализ множества возможных структур, исключая те, которые не соответствовали условиям задачи.

В 2017 году Хейлс опубликовал план доказательства, который показал, что задача стала выполнимой. Ваджха, увлеченный проблемой, присоединился к исследованию. В итоге, через шесть лет упорной работы, они смогли доказать первый этап гипотезы, предложенной Куртом Малером в 1946 году.

Их доказательство представляет собой 260-страничное исследование, включающее анализ множества структур и использование различных теорий. Хотя работа еще не прошла экспертную оценку, специалисты, ознакомившиеся с ней, выражают уверенность в результате.

Тем не менее, окончательное доказательство гипотезы Рейнхардта пока не достигнуто. Хейлс и Ваджха оставляют этот вопрос открытым, надеясь на дальнейшее развитие теорий и методов, которые могут привести к окончательному решению в будущем.