Прорыв в гипотезе Римана: Математики на пути к «периодической таблице чисел»

Гипотеза Римана является одной из самых важных нерешённых задач в теории чисел и всей математике. Вопрос, занимающий умы экспертов более 160 лет, был включён в знаменитую речь математика Давида Гильберта в 1900 году и числится среди « Миллениум Проблем », сформулированных столетие спустя. Решение этой задачи будет вознаграждено премией в один миллион долларов.

Тем не менее, гипотеза Римана остаётся крайне сложной задачей. Несмотря на десятилетия усилий, интерес множества экспертов и внушительную денежную награду, прогресс был незначительным. Недавно математики Ларри Гут из Массачусетского технологического института и Джеймс Мейнард из Оксфордского университета опубликовали на сервере препринтов arXiv.org сенсационное открытие . В своей работе они улучшили результат, который казался неприступным более 50 лет.

Математики называют новую работу «замечательным прорывом». Хотя до полного решения гипотезы ещё далеко, этот результат представляет значительный шаг вперёд.

Гипотеза Римана касается простых чисел, которые являются основными строительными блоками натуральных чисел и делятся только на 1 и на самих себя. Примеры простых чисел включают 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Остальные числа могут быть разложены на произведение простых чисел, например, 15 = 3 x 5. Проблема в том, что простые числа не следуют простому шаблону и кажутся распределёнными случайным образом среди натуральных чисел. Немецкий математик Бернхард Риман в XIX веке предложил способ объяснения этого распределения, по крайней мере, с точки зрения статистики.

Доказывание этой гипотезы предоставило бы математикам своеобразную «периодическую таблицу чисел». Примерно как основные строительные блоки материи помогают понять вселенную, простые числа играют важную роль не только в теории чисел, но и во многих других областях математики.

Интерес к простым числам существует тысячи лет. Евклид ещё в 300 году до н.э. доказал, что простых чисел бесконечно много. Однако значительные открытия в этой области начались лишь в XVIII веке. В 15 лет Карл Фридрих Гаусс заметил, что количество простых чисел уменьшается по мере продвижения по числовой прямой. Его теорема о распределении простых чисел, доказанная спустя 100 лет, утверждает, что приблизительно n/ln(n) простых чисел встречается в интервале от 0 до n.

Однако точное количество простых чисел может отличаться от прогноза, данного теоремой. Например, в интервале от 1 до 100 теорема предсказывает около 22 простых чисел, но на самом деле их 25. Гипотеза Римана помогает оценить это отклонение, утверждая, что оно не может становиться произвольно большим, а должно масштабироваться максимум как квадратный корень из n.

Гипотеза Римана не предсказывает точное расположение простых чисел, но предполагает, что их распределение подчиняется определённым правилам. Это означает, что нет больших участков без простых чисел, и нет участков, где их слишком много.

Риман сформулировал свою гипотезу в 1859 году, опубликовав тонкую шестистраничную статью. Он рассматривал определённую функцию, так называемую дзета-функцию ζ(s), представляющую собой бесконечную сумму обратных значений натуральных чисел, возведённых в степень s. Риман использовал не только действительные значения для s, но и комплексные числа, содержащие как действительную, так и мнимую части.

Гипотеза Римана утверждает, что все нули дзета-функции в критической полосе 0 ≤ x ≤ 1 имеют действительную часть, равную 1/2. Это утверждение связано с распределением простых чисел вдоль числовой прямой.

До сих пор проверено более 10^13 нулей дзета-функции, и все они лежат на прямой x = 1/2. Но для доказательства гипотезы необходимо показать, что ни один ноль не выходит за пределы этой линии в критической полосе.

Гут и Мейнард смогли значительно улучшить оценку Альберта Ингема, сделанную в 1940 году. Они показали, что дзета-функция в диапазоне 0.75 ≤ x ≤ 1 имеет не более y^(13/25)+c нулей с мнимой частью, не превышающей y. Это означает, что чем дальше нули дзета-функции от критической прямой, тем реже они встречаются.

Использовав методы из Фурье-анализа и несколько неожиданных манёвров, Гут и Мейнард достигли этого результата. Их работа предоставляет новый набор идей, которые могут быть применены к другим задачам. Хотя гипотеза Римана пока не решена, их исследование приближает математику к разгадке этой многовековой загадки.