Математическая поэзия Вселенной: три уравнения, изменившие наше понимание мира

Математика – это язык, написанный с использованием уравнений, маленьких предложений из букв и цифр, которые полностью управляют нашим пониманием вселенной.

Уравнения могут показаться пугающими, но на самом деле уравнение – это просто утверждение, своего рода математический способ сказать «Эти две вещи равны друг другу». У каждого из них своя история – осознание, реакция и последствия, которые буквально меняют мир.

Вот истории трех уравнений, о которых, возможно, мало кто слышал.

Теорема Пифагора: a² + b² = c²

Определяя соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора, вероятно, была первой «настоящей» теоремой, которую многие из нас когда-либо изучали. И это справедливо, потому что это также одна из самых ранних известных формальных теорем, появившаяся в Пропозиции 47 Книги I «Начал» Евклида – самого старого сохранившегося и постоянно используемого учебника по математике в мире.

Когда мы говорим о древности теоремы Пифагора, мы действительно имеем в виду поразительную временную глубину. Эта математическая истина была известна примерно за 1500 лет до того, как Евклид включил её в свои знаменитые «Начала», что означает: она предшествовала самому Пифагору на целое тысячелетие.

Археологические раскопки в древних городах Вавилона, на территории современного Ирака, принесли нам тысячи глиняных табличек, раскрывающих удивительные математические знания древних. Ярким примером служит кадастровый план Si.427, датируемый примерно 3700 годами назад. Этот артефакт, являющийся одним из древнейших свидетельств прикладной геометрии, содержит наборы пифагоровых троек — групп из трех чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора и образующих стороны прямоугольного треугольника.

Другой впечатляющий пример — табличка Плимптон 322 , также созданная в Древнем Вавилоне. Она представляет собой каталог пифагоровых троек, применявшихся в землеустройстве. Несмотря на очевидное практическое применение этих знаний вавилонянами, именно греческим математикам предстояло трансформировать эти эмпирические наблюдения в строгую математическую теорему с формальным доказательством.

В контексте развития высшей математики греки предпочитали оперировать абстрактными понятиями линий и площадей, а не конкретными числами. Так, Пифагор и его последователи сформулировали теорему как равенство площадей: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на других двух сторонах».

Когда эта сложная геометрическая проблема стала тем элегантным уравнением, которое мы знаем и любим? Именно здесь теорема Пифагора действительно сияет: она символизирует разрыв с методом проб и ошибок и начало дедуктивной математики, а также представляет собой мост между двумя основными областями математики: геометрией и алгеброй.

Теорема Пифагора была жизненно важна для изобретения аналитической геометрии, так как позволяет математикам представлять окружность в виде алгебраического уравнения. Она непосредственно привела к развитию тригонометрии и, по мере того как математика расширялась за пределы евклидова пространства, вдохновила на создание другой важной теории: теории относительности.

Уравнение Пифагора впервые появилось около 3500 лет назад для измерения земли фермера. Его расширение на треугольники без прямых углов и треугольники на сфере позволило нам картографировать континенты и измерять нашу планету. А его замечательная обобщенная версия позволяет нам измерять форму вселенной»

Тождество Эйлера: e^{i π} + 1 = 0

Известное как "самое красивое уравнение в математике", уравнение Эйлера элегантно объединяет пять фундаментальных математических констант: ноль, единицу, мнимую единицу i, а также два наиболее известных трансцендентных числа – π и e. Это уравнение, сочетающее в себе основные арифметические операции – сложение, умножение и возведение в степень, способно вызвать настоящий восторг у математиков.

"Это подобно шекспировскому сонету, раскрывающему саму сущность любви, или картине, отображающей красоту человеческой формы, которая намного глубже, чем просто внешность", – писал профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин в Wabash Magazine в 2002 году. "Уравнение Эйлера достигает самых глубин бытия".

Хотя такое описание может показаться преувеличением, исследования с использованием нейровизуализации показали , что реакция мозга математиков на уравнение Эйлера сходна с реакцией большинства людей на выдающиеся произведения искусства или музыки.

"На первый взгляд оно кажется простым, но при этом обладает невероятной глубиной", – отметил математик Дэвид Перси в интервью BBC в 2014 году. "Сначала его значимость может быть неочевидна, но по мере осознания его полного потенциала оно становится поистине удивительным".

Как же связаны эти математические константы, и кто раскрыл эту связь? На самом деле, это уравнение представляет собой частный случай более общего математического принципа, известного как формула Эйлера. Эта формула имеет практическое применение: она "описывает два эквивалентных способа движения по окружности", как объясняет Калид Азад в статье для своего блога Better Explained.

"Мы можем понять это, используя ряд аналогий. Начиная с числа 1, рассматриваем умножение как преобразование, изменяющее это число: 1∙e^{i π}".

Число e в основании экспоненты указывает на экспоненциальный рост, но какую роль играет мнимая единица i? Азад поясняет: "В то время как обычный экспоненциальный рост непрерывно увеличивает 1 с определенной скоростью за данный период времени, мнимый экспоненциальный рост вращает 1 по кругу с постоянной угловой скоростью". Это вращение и создает связь между экспонентой, тригонометрическими функциями и комплексными числами, что делает формулу Эйлера столь фундаментальной и элегантной.

Теперь, базовое число e означает, что мы имеем дело с экспоненциальным ростом, но как насчет мнимой единицы i? Как объяснил Азад, в то время как «обычный экспоненциальный рост непрерывно увеличивает 1 с некоторой скоростью за определенный период времени, мнимый экспоненциальный рост непрерывно вращает 1 за тот же период времени».

В данном контексте π представляет собой временной интервал, достаточный для поворота на половину окружности вокруг точки, расположенной в начале координат. Другими словами, вы оказываетесь в точке -1 на числовой оси.

Если эта концепция кажется знакомой, это неслучайно – она имеет много общего с тем, что обсуждалось в контексте теоремы Пифагора. Однако существует важное концептуальное различие: синус и косинус описывают движение в терминах декартовой системы координат, отображая горизонтальные и вертикальные позиции, в то время как "формула Эйлера использует полярные координаты, определяющие положение точки через угол и расстояние от начала координат".

Безусловно, даже если все эти математические тонкости не вполне понятны, можно просто восхищаться изяществом и красотой этого уравнения.

"Это действительно настоящая классика математики", – подчеркнул Перси. "Трудно представить себе что-то более совершенное в мире математических формул".

Специальная теорема Эйнштейна: E = mc²

Говоря о классике – немногие уравнения звучат так же элегантно, как E = mc². Это формула поистине знаковая: лаконичная и невероятно глубокая. Однако она, вероятно, не означает именно то, что думают многие, и, подобно уравнению Эйлера, изначально была сформулирована иначе, чем мы её знаем сегодня.

Когда Эйнштейн впервые вывел физическую концепцию, которую оно представляет, он не записал его в привычной нам форме. Возможно, это типично для человеческой культуры: наше самое знаменитое уравнение не является и не было тем, чем кажется, как и породившая его теория.

Большинство из нас понимает важность этого уравнения: оно описывает эквивалентность энергии и массы. Однако мало кто осознает, что оно неполное – и хотя мы часто называем его "теорией относительности", на самом деле это лишь одно из двух уравнений, разделяющих это название.

"Относительность" охватывает две различные, но связанные теории: специальную и общую теорию относительности. Специальная теория относительности рассматривает пространство, время и материю в отсутствие гравитации; общая теория относительности учитывает гравитацию.

E = mc² описывает специальную теорию относительности – именно её Эйнштейн разработал первой. Она называется специальной, поскольку применима только к системам отсчета, движущимся равномерно относительно друг друга. Среди её следствий – сокращение Лоренца-Фитцджеральда, которое теперь интерпретируется как неотъемлемая особенность пространственно-временного континуума.

Благодаря специальной теории относительности мы знаем, что происходит при скоростях, близких к скорости света: время замедляется, массы увеличиваются, а длины сокращаются. Она установила скорость света как универсальный верхний предел – теоретическую точку, где время останавливается, масса становится бесконечной, а размер – нулевым. И, что более тревожно, она позволила нам понять принцип действия атомной бомбы.

Неудивительно, что теория вызвала споры, когда начала набирать популярность, и не только среди таких критиков, как Филипп Ленард и Иоганн Штарк, чья главная претензия к открытию заключалась в еврейском происхождении Эйнштейна.

Она "глубоко потрясла ученых и широкую публику", написал историк науки и автор Джимена Каналес в статье 2016 года для Nautilus . Её сторонники утверждали, что некоторые из самых базовых, здравых понятий – такие как "что означает 'одновременность'?" или "время и пространство – разные вещи" – нуждаются в пересмотре.

И всё же, несмотря на это, Эйнштейн оставался недоволен своим уравнением. Оно предоставило единую теорию пространства, времени, материи и электромагнетизма, но упустило один важный элемент – гравитацию.

На решение этой проблемы ему потребовалось еще десять лет, и конечный результат – набор из десяти тензорных уравнений, связывающих такие сложные величины, как форма пространства-времени, кривизна и соотношение между энергией и импульсом – определенно не так лаконичен, как наше привычное E = mc². Но его последствия колоссальны: оно переписало законы гравитации; объяснило явления, ранее казавшиеся необъяснимыми; и даже предсказало существование черных дыр.

И, возможно, самое удивительное во всем этом? Всё это берет начало в теореме Пифагора.

Одно из древнейших уравнений в науке приводит к одному из новейших.