Загадка π^π^π^π: математическая головоломка, не поддающаяся компьютерам

Число π (пи) - одно из самых известных и загадочных в математике. Его изучали тысячи лет, и оно продолжает привлекать внимание как ученых, так и любителей. Хотя π описывает окружность - одну из самых простых и симметричных геометрических фигур, его десятичное представление не имеет ни конца, ни повторений. Недавно возникла новая интересная загадка: что произойдет, если повторно возводить π в степень само себя? Может ли результатом быть целое число?

Неожиданное математическое предположение

3 мая 2013 года главный математик компании Epic Games Дан Пипони вызвал оживленное обсуждение своим постом в Twitter (сейчас X). Он предложил пользователям доказать, что π в степени π в степени π в степени π не является целым числом. Хотя этот пост собрал несколько комментариев, значительного внимания он не привлек.

Компьютерный ученый Даниэль Спивак быстро понял важность этого вопроса . «Вы по сути просите своих подписчиков решить одну из значительных нерешенных задач, связанных с тетрацией?» - заметил он. Тетрация - это многократное возведение числа в степень. Даже математики не знают, каким будет результат, если возвести π в степень само себя четыре раза подряд.

Возрождение интереса к вопросу

В 2021 году вопрос вновь стал популярным благодаря математику Томасу Блуму из Оксфордского университета. Его пост в Twitter вызвал оживленное обсуждение, собрав более 500 лайков и 90 репостов. Лауреат Филдсовской премии Тимоти Гауэрс также присоединился к обсуждению : «Почему бы нам просто не посчитать это до нескольких десятичных знаков?» Однако, как оказалось, даже для вычисления первых десятичных знаков результата потребуются невероятные вычислительные ресурсы.

Огромные числа и сложные вычисления

Для понимания проблемы важно знать, что многократное возведение в степень выполняется справа налево. Например, π в степени π приблизительно равно 36.46. Далее π в степени 36.46 дает число с 18 цифрами: 1.34 x 10¹⁸. Это только результат трехкратного возведения в степень. Четырехкратное возведение приводит к числу с почти 10¹⁸ цифрами. Для сравнения, в 2022 году было вычислено 62 x 10¹² десятичных знаков π. Для вычисления результата π в степени π в степени π в степени π потребуется определить в миллион раз больше цифр.

Рассмотрим упрощенный пример: возведение 4 в степень 4 в степень 4, если интересуют только последние две цифры. 4 в степени 4 в степени 4 равно 4²⁵⁶. Для вычисления последних двух цифр можно использовать сокращение: вместо умножения всех трехзначных чисел достаточно работать только с последними двумя цифрами.

Практические вычисления и математические ограничения

Австралийский математик Мэтт Паркер продемонстрировал на YouTube сложность подобных вычислений. Он отметил, что если обрезать π до пяти десятичных знаков и возвести это число в шестую степень, только первые две десятичные цифры результата будут точными. Паркер предположил, что для получения хотя бы одной правильной цифры после запятой в результате возведения π в степень π в степень π потребуется учесть по крайней мере в два раза больше десятичных знаков. «Кратко говоря, в обозримом будущем мы не сможем это вычислить», - заключил Паркер.

Абстрактная математика приходит на помощь

К счастью, математика предлагает другие способы определения, является ли число целым, иррациональным или трансцендентным. Трансцендентные числа не могут быть выражены как решение простого уравнения. Например, √2 не является трансцендентным, так как является решением x² = 2. Однако π - трансцендентное число. Американский математик Стивен Хоэль Шанюэль в 1960-х годах предложил гипотезу, которая позволяет оценить, является ли значение трансцендентным. Эта гипотеза достаточно абстрактна и требует сложных математических знаний.

Некоторые эксперты использовали гипотезу Шанюэля для исследования π в степени π в степени π в степени π. Согласно их выводам, результат должен быть трансцендентным, а значит, не может быть целым числом. Однако гипотеза Шанюэля до сих пор не доказана, поэтому окончательное заключение остается открытым.

Заключение

Итак, существует два пути для решения загадки четырехкратного возведения π в степень. «Мы либо должны значительно продвинуться в математике и доказать гипотезу Шанюэля, либо улучшить вычислительные технологии,» - сказал Мэтт Паркер в своем видео на YouTube. До тех пор остаётся неизвестным, является ли π в степени π в степени π в степени π целым числом или нет.

Математическое сообщество продолжает работать над решением этой задачи, и возможно, в будущем появятся новые открытия, которые позволят разгадать эту увлекательную тайну числа π.