Случайный прорыв: формула из теории струн ускоряет вычисление π в миллиарды раз

Число π (пи) появляется в самых неожиданных местах. Его можно обнаружить не только в кругах, но и в маятниках, пружинах и изгибах рек. Это повседневное число связано с трансцендентными тайнами. Оно вдохновило шекспировские загадки, кулинарные испытания и даже оригинальную песню. И π продолжает удивлять — совсем недавно, в январе 2024 года, физики Арнаб Прия Саха и Анинда Синха из Индийского института науки представили совершенно новую формулу для его вычисления, которую они позже опубликовали в журнале Physical Review Letters.

Саха и Синха не являются математиками. Они даже не искали новую формулу для числа π. Вместо этого эти два теоретика струн работали над объединяющей теорией фундаментальных сил, которая могла бы примирить электромагнетизм, гравитацию, а также сильные и слабые ядерные силы. В теории струн основные строительные блоки Вселенной — это не частицы, такие как электроны или фотоны, а крошечные нити, которые вибрируют, как струны гитары, вызывая все видимые явления. В своей работе Саха и Синха исследовали, как эти струны могут взаимодействовать друг с другом, и случайно открыли новые формулы, связанные с важными математическими величинами.

На протяжении тысячелетий человечество пыталось определить точное значение числа π. Это неудивительно, учитывая его полезность для вычисления длины окружности или площади круга. Даже древние ученые разработали геометрические подходы для вычисления этого значения. Один из известных примеров — Архимед, который оценивал π с помощью многоугольников: рисуя многоугольник с n-сторонами внутри и снаружи круга и вычисляя периметр каждого, он смог сузить значение числа π.

Учителя часто представляют этот метод в школе. Но даже если его не запомнить, можно представить, что процесс довольно сложен. Архимед пошел так далеко, что сравнил периметры многоугольников с 96 вершинами, чтобы доказать, что π находится между 3.1408 и 3.1429. Поэтому этот подход не является практичным для точного вычисления числа π.

Бесконечный ряд для определения числа π

В XV веке эксперты нашли новый способ выражения числа π через бесконечные ряды. Добавляя их члены один за другим, можно получить значение π. И чем больше членов учитывается, тем точнее будет результат.

Например, индийский ученый Мадхава, живший в период с 1350 по 1425 годы, обнаружил, что π равно 4, умноженному на ряд, который начинается с 1 и затем поочередно вычитает или добавляет дроби, где в числителе стоит 1, а в знаменателе — последовательно увеличивающиеся нечетные числа (такие как 1/3, 1/5 и так далее). Один из способов выразить это:

$$\pi = 4 \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots \right)$$

Эта формула позволяет в очень простой форме определять π с любой точностью. Для работы с этой формулой не нужно быть мастером математики. Однако потребуется терпение: даже если взять 100 слагаемых, результат все равно будет довольно далеко от точного значения π.

Формула Саха и Синха

Более чем 600 лет спустя Саха и Синха обнаружили, что формула Мадхавы является лишь частным случаем гораздо более общей формулы для вычисления π. В своей работе теоретики струн открыли следующую формулу:

$$\pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)} \cdot \left( \frac{\lambda}{\lambda + 2n + 1} \right)$$

Эта формула производит бесконечно длинную сумму. Примечательно, что она зависит от параметра λ, который можно выбирать произвольно. Независимо от значения λ, формула всегда приводит к числу π. И поскольку существует бесконечное множество возможных значений λ, Саха и Синха нашли бесконечное число формул для вычисления числа π.

Если λ стремится к бесконечности, формула сводится к формуле Мадхавы. Это происходит потому, что λ всегда появляется в знаменателе дробей, и соответствующие дроби при λ = ∞ становятся нулевыми (так как дроби с большими знаменателями очень малы). При λ = ∞ формула Саха и Синха принимает следующую форму:

$$\pi = 4 \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots \right)$$

Первая часть уравнения уже похожа на формулу Мадхавы: складываются дроби с нечетными знаменателями. Последняя часть суммы \((-n)^{n - 1}\) менее знакома. Индекс n-1 — это так называемый символ Похгаммера. В общем виде выражение \((a)_n\) соответствует произведению \(a \times (a + 1) \times (a + 2) \times \ldots \times (a + n - 1)\). Например, \((5)_3 = 5 \times 6 \times 7 = 210\). И символ Похгаммера в вышеуказанной формуле поэтому получается: \((-n)_{n - 1} = (-n) \times (-n + 1) \times (-n + 2) \times \ldots \times (-n + n - 3) \times (-n + n - 2)\).

Несколько шагов к формуле Мадхавы

Все эти элементы кажутся сложными на первый взгляд, но их можно быстро упростить. Во-первых, вычтите -1 из каждого множителя. Знак перед большим произведением будет -1, если n нечетное, и +1, если n четное, так что получится: \((-n)_{n-1} = (-1)^n \times n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1\).

Это удлиненное выражение на самом деле равно \((-n)_{n - 1} = (-1)^n \times n\), что дает следующее:

$$\pi = 4 \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots \right)$$

Эта формула соответствует формуле Мадхавы. Таким образом, уравнение, найденное Саха и Синха, также включает в себя ряд, открытый Мадхавой.

Как сообщают два теоретика струн, π можно вычислить намного быстрее для меньших значений λ. В то время как формуле Мадхавы требуется 100 членов, чтобы приблизиться к значению π с точностью до 0.01, формуле Саха и Синха при λ = 3 требуется всего четыре слагаемых. «В то время как [формуле Мадхавы] требуется 5 миллиардов членов, чтобы сойтись до 10 знаков после запятой, новое представление с λ между 10 и 100 требует 30 членов», — пишут авторы в своей статье. Тем не менее, Саха и Синха не нашли самый эффективный метод вычисления числа π. Другие ряды, известные уже несколько десятилетий, обеспечивают удивительно точное значение намного быстрее. Поразительным в этом случае является то, что физики придумали новую формулу для π, когда их статья была направлена на описание взаимодействия струн. Они разработали метод, чтобы указать вероятность, с которой две замкнутые струны будут взаимодействовать друг с другом — что-то, что многие теоретики струн искали десятилетиями без успеха.

Когда Саха и Синха более внимательно рассмотрели получившиеся уравнения, они поняли, что таким образом можно выразить не только число π, но и дзета-функцию, которая является сердцем гипотезы Римана — одной из величайших нерешенных загадок в математике. С учетом интересов теоретиков струн, их формулы для π и дзета-функции лишь украшают самый последний абзац их статьи. «Наша мотивация, конечно, не заключалась в том, чтобы найти формулу для π», — сказал Синха в видео на YouTube-канале Numberphile. «Π было всего лишь побочным продуктом.»