Семнадцатиугольник Гаусса: как юный гений решил двухтысячелетнюю загадку

Карл Фридрих Гаусс, признанный математический гений, оставил за собой множество открытий, но наиболее значимым для него самого было доказательство возможности построения правильного семнадцатиугольника (гептадекагона) с помощью простых геометрических инструментов — циркуля и линейки. Гаусс считал это достижение настолько важным, что хотел видеть изображение этой фигуры на своем надгробии. В возрасте всего 18 лет он решил задачу, которая ставила в тупик математиков на протяжении более двух тысяч лет.

Чтобы понять, почему семнадцатиугольник стал таким важным для Гаусса, необходимо окунуться в историю античной геометрии, основоположником которой стал Евклид. Древнегреческие математики придавали большое значение построениям с помощью циркуля и линейки, считая эти инструменты достаточными для создания правильных геометрических форм. В « Началах » Евклид стремился построить все геометрические объекты, исходя из минимальных аксиом, и рассматривал геометрию как науку, которая должна быть выведена логически из самых простых элементов — прямых линий и окружностей. Конструкции с использованием этих инструментов представляли собой не просто рисунки, а точные математические объекты.

Одним из примеров таких построений является нахождение середины отрезка с помощью циркуля и линейки. Достаточно построить две пересекающиеся окружности с центрами в концах отрезка, а затем провести прямую через точки их пересечения. Эта линия точно пересечет исходный отрезок в его середине, что демонстрирует элегантность подобных построений. Однако античные математики были ограничены в своем арсенале — с помощью циркуля и линейки они могли построить правильные многоугольники с 3, 4, 5 и кратными им числом сторон, например, треугольник, квадрат и пятиугольник.

Проблема заключалась в том, что не все многоугольники поддавались таким построениям. Евклид мог создать фигуры с удвоенным количеством сторон — например, шестиугольник или десятиугольник, — но так и не смог построить правильный семиугольник или одиннадцатиугольник. Это стало своеобразным барьером для античной геометрии, который оставался нерешенным на протяжении двух тысячелетий.

В конце XVIII века, когда Гаусс начал свою карьеру, знания о построениях с циркулем и линейкой значительно расширились. Он сумел свести задачу построения правильного многоугольника к необходимости построить отрезок определенной длины. В случае семнадцатиугольника задача сводилась к тому, чтобы найти точку на окружности, которая разделяет ее на 17 равных частей. Эту точку можно найти, если построить отрезок длиной, соответствующей значению косинуса угла, равного 2π/17. Сам факт того, что длина этого отрезка могла быть выражена с помощью элементарных операций (сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня), позволял Гауссу доказать , что семнадцатиугольник можно построить с циркулем и линейкой.

Это открытие Гаусса было революционным. Он не только доказал возможность построения семнадцатиугольника, но и разработал теорию, которая описывала, какие правильные многоугольники можно построить с помощью этих простых инструментов. Эта теория позволила установить, что многие многоугольники, такие как правильный семиугольник и одиннадцатиугольник, невозможно построить с использованием циркуля и линейки. Эти фигуры остаются за пределами возможностей классической геометрии.

Гаусс гордился своим открытием и, по воспоминаниям его биографа Г. Уолдо Даннингтона, однажды признался другу, что хотел бы видеть изображение правильного семнадцатиугольника на своем надгробии. Однако это желание не было выполнено. Вместо этого, на памятнике Гауссу в его родном городе Брауншвейге выгравировали звезду с 17 лучами. Каменотес, по-видимому, посчитал, что люди не смогут различить семнадцатиугольник и окружность, поэтому выбрал символ в виде звезды.

История с надгробием Гаусса — это не просто дань уважения его достижениям, но и напоминание о той страсти к решению сложных задач, которая привела его к успеху. Гаусс был не только выдающимся математиком, но и человеком, который изменил само представление о геометрии, соединив древнегреческие методы с новыми алгебраическими подходами, что позволило ему решить задачи, остававшиеся нерешенными на протяжении веков.