Кардано против Тартальи: дуэли и предательства на пути к решению кубических уравнений

История решения кубических уравнений — это не просто математическая задача, а —настоящая драма с предательствами, дуэлями и научными открытиями, которые привели к формированию современной математики. В центре событий — два итальянских математика XVI века: Джероламо Кардано и Никколо Фонтана, более известный как Тарталья (по своему прозвищу «заика»). Их противостояние можно сравнить с самыми известными историческими соперничествами, такими как Эдисон и Тесла или Тупак и Бигги. А началось всё с желания разгадать одну из величайших загадок того времени — найти решение кубических уравнений.

На сегодняшний день ученики средней школы знают, как решать квадратные уравнения с помощью формулы, которая позволяет находить корни уравнений вида ax^2 +bx+c=0. Однако в XVI веке математики пытались найти аналогичные решения для уравнений более высокой степени, в частности кубических уравнений. Несмотря на отсутствие современного символического алгебраического языка, учёные того времени, включая Кардано и Тарталью, работали над тем, чтобы решить подобные задачи с помощью геометрических и словесных описаний.

Алгебра, как мы её знаем сегодня, начала формироваться только в XVII веке, однако к этому моменту накопилось множество предварительных открытий, сделанных на протяжении предыдущих веков. В XVI веке уравнения всё ещё выражались риторически, а отрицательные числа не признавались. Кубические уравнения тогда выглядели как «куб и что-то равны числу», что сильно усложняло восприятие и решение подобных задач. Математики подходили к этим уравнениям геометрически, пытаясь разложить кубические выражения на более простые формы.

Первым значительный шаг в решении кубических уравнений сделал Сципион дель Ферро, профессор из Болонского университета. Он сумел найти решение уравнений вида x3+cx=d, где все коэффициенты были положительными. Эти уравнения стали известны как «приведённые кубические уравнения». Однако в то время существовала практика хранить математические открытия в тайне для того, чтобы использовать их в «математических дуэлях» — соревнованиях, в которых учёные посылали друг другу сложные задачи, и победителем становился тот, кто решал больше задач. Таким образом, открытия часто держались в секрете, чтобы использовать их в будущем.

Мы знаем, что дель Ферро мог решать приведённые кубические уравнения, потому что он передал свои знания ученику Антонио Фиору, который впоследствии хвастался своим умением решать подобные задачи. Однако в это же время Тарталья, будучи самоучкой, нашёл решение другого типа кубических уравнений, где отсутствовал линейный член. Это привело к математической дуэли между Фиором и Тартальей в 1535 году. Они обменялись тридцатью задачами, назначив срок решения в полтора месяца. Фиор, уверенный в своём преимуществе, отправил Тарталье тридцать приведённых кубических уравнений. Однако за несколько дней до истечения срока Тарталья разгадал их решение и справился со всеми задачами за два часа, в то время как Фиор не смог решить ни одной задачи, предложенной соперником, что привело к его поражению и утрате репутации.

Это открытие Тартальи потрясло научное сообщество, так как до этого считалось, что решение кубических уравнений невозможно. Кардано, будучи успешным врачом и талантливым математиком, был поражён успехом Тартальи и отчаянно пытался разгадать его секрет. В течение нескольких лет Кардано уговаривал Тарталью поделиться методикой решения кубических уравнений, даже поклявшись на Библии сохранить тайну. В конце концов, в 1539 году Тарталья сдался и раскрыл свою методику Кардано, но не предоставил доказательства правильности своих решений.

Однако для Кардано этого оказалось достаточно. Поняв принцип работы метода, он вскоре нашёл способ решать все виды кубических уравнений, преобразовывая их в приведённую форму. Это стало важным математическим прорывом, и Кардано, осознавая значимость открытия, хотел опубликовать результаты. Однако он был связан клятвой перед Тартальей.

Ситуация изменилась в 1543 году, когда Кардано обнаружил, что дель Ферро решил приведённые кубические уравнения задолго до Тартальи. Это, по мнению Кардано, освобождало его от клятвы. В 1545 году он опубликовал свой труд « Ars Magna », где подробно изложил методы решения кубических и даже четвертичных уравнений, разработанные им и его учеником Людовику Феррари.

Тарталья был вне себя от ярости. Он обвинил Кардано в нарушении клятвы и в краже его открытий. Несмотря на то, что Кардано признал вклад Тартальи в своей книге, это не спасло его от публичных обвинений. Кардано оставил защиту своей репутации своему ученику Феррари, что привело к новой математической дуэли, на этот раз между Тартальей и Феррари. Дуэль прошла в Милане, на родине Феррари, и закончилась поражением Тартальи, который покинул город, потеряв свою репутацию.

В то время как Кардано и Феррари обрели славу, Тарталья умер в бедности и забвении, несмотря на свои многочисленные достижения в области математики. Публикация «Ars Magna» считается началом современной алгебры, и это открытие навсегда изменило математический мир.

История кубических уравнений не закончилась на Кардано. Математики продолжили исследовать уравнения высших степеней, однако вскоре они столкнулись с непреодолимым барьером. В XIX веке норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения пятой степени в общем виде не могут быть решены с помощью радикалов. Его работу продолжил Эварист Галуа , который дал чёткие критерии для решения уравнений любой степени. Галуа погиб в дуэли в возрасте 20 лет, однако его вклад в математику оказался огромным и продолжает влиять на исследования в этой области.

Таким образом, борьба за решение кубических уравнений сыграла ключевую роль в развитии математики, проложив путь к современным методам алгебраического анализа и изучению уравнений более высоких степеней.