Узоры бесконечности: новая эллиптическая кривая побила рекорд по сложности

В августе этого года двое математиков сделали открытие, которое привлекло внимание всего научного сообщества: им удалось обнаружить необычную эллиптическую кривую, побившую прежний рекорд по сложности. Этот успех затрагивает один из древнейших и наиболее фундаментальных вопросов в математике, связанный с уравнениями, которым уже тысячи лет.

Эллиптические кривые, происхождение которых можно отследить до времен Древней Греции, стали неотъемлемой частью различных областей исследований. Их структура обладает глубокими и сложными особенностями, на которых математики строят мощные методики и теории. В 1994 году они оказались центральными в доказательстве Великой теоремы Ферма, над которой работал Эндрю Уайлс, решив одну из важнейших нерешенных задач теории чисел. Эллиптические кривые играют также важнейшую роль в современной криптографии.

Несмотря на значительный прогресс в изучении эллиптических кривых, ответы на некоторые базовые вопросы о них остаются неизвестными. Один из таких вопросов — характеризация кривых через так называемые «рациональные точки», расположенные на их поверхности. На каждой кривой эти точки образуют определенные закономерные узоры, но до сих пор не известно, существует ли предел сложности и разнообразия этих узоров.

Решение этого вопроса могло бы существенно углубить представление математиков о многообразии эллиптических кривых, большинство из которых все еще остаются неизведанными. В связи с этим, ученые стараются исследовать самые отдаленные и сложные примеры этих кривых, разыскивая их редкие разновидности с экзотическими узорами рациональных точек. Этот процесс требует как математической изобретательности, так и использования сложных компьютерных программ.

На сегодняшний день два математика — Ноам Элкис из Гарвардского университета и Зев Клагсбрун из Центра коммуникационных исследований в Ла-Хойе — обнаружили эллиптическую кривую с наиболее сложной структурой рациональных точек, побив рекорд, который держался 18 лет. По мнению специалистов, это событие знаменует новый этап в изучении эллиптических кривых.

Охота на рациональные точки

Эллиптические кривые, несмотря на всю свою сложность, представляют собой сравнительно простые уравнения вида y² = x³ + Ax + B, где A и B — рациональные числа. На графике такие уравнения принимают форму симметричных кривых, а их решения образуют узоры, завораживающие математиков. Дженнифер Парк из Университета штата Огайо отмечает, что поиск рациональных точек на этих кривых является одной из старейших задач в истории математики.

Рациональные точки — это те, у которых значения координат x и y являются рациональными числами. Для простых уравнений такие точки находятся относительно легко, но эллиптические кривые — это первый тип уравнений, в которых возникает множество нерешенных вопросов. Джозеф Сильверман из Брауновского университета добавляет, что даже с двумя переменными кубические уравнения эллиптических кривых достаточно сложны для исследований.

Чтобы разобраться в рациональных решениях эллиптической кривой, математики часто изучают ее ранг — число, которое определяет плотность рациональных точек вдоль кривой. Кривые ранга 0 содержат конечное число рациональных точек, а у кривых ранга 1 таких точек бесконечно много, но они выстраиваются в простой узор. На более высоких рангах эти точки начинают образовывать более сложные взаимосвязи.

Новые горизонты в теории эллиптических кривых

Ранг показывает, сколько независимых точек требуется для описания всех рациональных решений данной кривой. Чем выше ранг, тем богаче структура кривой. Например, кривые ранга 2 и 3 обе имеют бесконечное количество рациональных решений, но кривые ранга 3 содержат дополнительные узоры, делая их сложнее. Почти все эллиптические кривые имеют ранг 0 или 1, но все еще остаются бесчисленные редкие экземпляры с высокими рангами — и их очень трудно найти.

Пока не установлено, существует ли предел ранга эллиптических кривых. Некоторые эксперты полагали, что возможно построить кривую любого ранга, однако последние исследования показали, что это может быть ошибочным мнением. В отсутствие доказательств математики продолжают обсуждать природу эллиптических кривых, понимая, что на этом пути еще много неизвестного.

Неожиданное открытие и долгожданный прорыв

Впервые побивший рекорд в 2006 году, Ноам Элкис из Гарвардского университета не преследовал целью создание кривой с самым высоким рангом. Тогда он изучал так называемые К3-поверхности, разбивая их на составляющие. К3-поверхности, являясь более сложными геометрическими объектами, дают возможность находить эллиптические кривые с более высокими рангами. В 2006 году Элкис с помощью К3-поверхностей нашел кривую с рангом 28, превзойдя прежний рекорд 24.

В 2019 году, встретив Зева Клагсбруна на конференции, Элкис согласился на новое совместное исследование. Клагсбрун предложил ускорить поиски, используя более мощные вычислительные методы, что позволило проверить уже триллионы кривых. Однако им пришлось провести несколько лет в поисках и попытках найти нужную кривую с рангом выше 28. Лишь случайно изменив метод разрезания поверхности, они смогли получить кривую с рангом 29, побив предыдущий рекорд.

Эта новая кривая с рангом 29, будучи записана в виде y² = x³ + Ax + B, имеет значения A и B, каждое из которых содержит более 60 цифр. Найденные 29 независимых рациональных решений имеют столь же крупные значения, что делает эту кривую самой сложной из известных на сегодняшний день.

Открытие кривой с рангом 29 пока не разрешает вопроса о пределе сложности, но показывает, что поиск кривых с высоким рангом по-прежнему может дать неожиданные результаты. Математики надеются найти бесконечное множество кривых, ранги которых будут как минимум 22, чтобы доказать, что у рангов эллиптических кривых нет предела. Такое открытие могло бы опровергнуть текущие доказательства о возможном конечном лимите ранга. Каждый новый рекорд подталкивает ученых к дальнейшим исследованиям и позволяет расширить представления о мире эллиптических кривых.