Математические итоги 2024-го: от птичьих стай до теории всего

В мае 2024 года в математике произошло историческое событие: команда из девяти ученых завершила доказательство , над которым математики бились 30 лет. Работа занимает более 800 страниц.

Речь идет о геометрической гипотезе Ленглендса — одном из ключевых элементов в создании "великой объединяющей теории" математики. Значение этого исследования выходит далеко за пределы решения конкретной задачи. Ученым удалось найти глубокие и неожиданные переплетения между областями, которые раньше считались почти не связанными между собой. Именно такие открытия, разрушающие барьеры между разными направлениями, часто становятся самыми важными для науки.

Впрочем, это не единственное достижение года. Только в геометрии появилось несколько исторических доказательств. Одни наконец завершили многолетние исследования. Другие преподнесли миру сюрприз, опровергнув давние предположения. В теории чисел тоже произошел прорыв: математики продвинулись в решении таких печально известных проблем, как гипотеза Римана и гипотеза abc.

За каждым прорывом стоят десятилетия упорного труда, множество небольших шагов вперед и набитых “шишек”. Так и работает математический прогресс: постепенно то, что казалось совершенно невозможным, становится чуть более достижимым.

На пути к математической Пангее

За майским прорывом стоит программа Ленглендса — амбициозный проект с полувековой историей. Его цель можно описать как создание новой карты математики, где разрозненные области этой науки наконец соединятся, словно континенты в единую Пангею.

Однако работа над программой Ленглендса оказалась невероятно сложной. Математикам приходится иметь дело с очень абстрактными концепциями и разрабатывать совершенно новые методы доказательств. В 1980-х годах один из ученых предложил рассмотреть ключевую проблему программы с точки зрения геометрии. В этой версии задачи появились особые математические структуры — "пучки", позволяющие описывать сложные геометрические объекты. Идея казалась многообещающей, но доказательство не давалось никому больше 40 лет.

И вот теперь, когда решение наконец найдено , математики ожидают, что оно даст толчок развитию самых разных областей науки.

Растущая роль искусственного интеллекта

Когда только появились новые системы искусственного интеллекта вроде ChatGPT, их математические способности стали предметом мемов, причем не самых лестных. Чат-боты не могли правильно складывать числа, не говоря уже о решении более сложных текстовых задач. О создании полноценных доказательств можно было и не мечтать. Казалось, что в математике ИИ так и продолжит спотыкаться.

Но в этом году новые модели от Google DeepMind превратили ИИ в серьезного конкурента на Международной математической олимпиаде — главном математическом соревновании для старшеклассников в мире. В январе компания представила AlphaGeometry — модель, которая доказывала геометрические задачи почти так же хорошо, как человек-золотой медалист. Не прошло и полугода, как AlphaGeometry 2 уже приближалась к золоту , а в сочетании с большой языковой моделью Google Gemini могла доказывать более общие задачи достаточно хорошо, чтобы получить серебряную медаль на полном олимпиадном экзамене. DeepMind назвала эту новейшую модель AlphaProof. Дргие разработки компании тоже впечатляют. Среди новинок этого года: Astra , AudioLM , SAFE , V2A и много чего еще.

В 2022 году математики с помощью машинного обучения обнаружили странные закономерности в важных уравнениях, называемых эллиптическими кривыми. Узоры выглядели просто поразительно: если посмотреть на определенные числовые свойства эллиптических кривых под правильным углом, они напоминали птичьи стаи — явление, известное как мурмурация. За пару лет с тех пор ученые пытались понять суть этого феномена. В процессе они нашли их во множестве различных объектов теории чисел, что привело к важным новым работам и открытиям, включая разработку нового типа функций.

По мере того как методы ИИ становятся более сложными, таких историй будет все больше. Мы уже наблюдали подобное много раз — когда компьютеры постепенно вошли в мир математики и открыли новые горизонты для исследований. Теперь специалисты пытаются предсказать, как это будет выглядеть с ИИ.

Побиты рекорды упаковки сфер

В отличие от геометрической гипотезы Ленглендса, задачу об упаковке сфер легко сформулировать: как расположить одинаковые сферы, чтобы они заполнили максимально возможный объем, не пересекаясь? В трех измерениях сферы можно уложить пирамидкой, как апельсины в магазине. Но что делать в пространствах более высоких размерностей?

Никто не знал ответа ни для одной размерности выше трех до 2016 года , пока украинский математик Марина Вязовская не доказала, что определенные решетки оптимальны для упаковки сфер в восьми- и 24-мерном пространстве. А дальше вопрос оставался открытым.

Ученые хотят найти общее решение — формулу, которая дает способ плотно упаковывать сферы в пространстве произвольно высокой размерности, даже если упаковка не будет полностью оптимальной.

В апреле впервые за 75 лет задача сдвинулась с мертвой точки. Ученые пошли совершенно новым путем . Если Вязовская искала упорядоченные, аккуратные способы расположения сфер, то они, опираясь на теорию графов, предложили хаотичную упаковку. И этот неожиданный подход оказался эффективнее всех предыдущих решений.

Хотя это не единственный прогресс за 2024 год. Два математика — включая Томаса Хейлса, который еще в 1990-х доказал оптимальный способ упаковки сфер в трех измерениях — доказали утверждение о самых неподходящих для этого формах .

Опровержение 50-летней гипотезы

Доказывать старые гипотезы здорово — но опровергать их не менее важно. В этом году три математика нашли контрпримеры к гипотезе Милнора — 50-летней проблеме о связи между общей формой объекта и тем, как он выглядит при приближении. Работа, которая включала разработку нового типа структуры, показала, что вселенная возможных форм еще более странная, чем представляли математики — хотя они всегда считали ее довольно причудливой.

Важные шаги в теории чисел

Если геометрические открытия 2024 года можно сравнить с возведением величественных монументов, то в теории чисел математики занимались не менее важной работой — закладывали фундамент для будущих построек.

Например, двум ученым удалось продвинуться в изучении гипотезы Римана — одной из самых известных нерешенных задач математики. Они вывели новую формулу для подсчета возможных исключений из гипотезы. Это достижение не только превзошло результат 80-летней давности, но и помогло лучше понять, как распределяются простые числа.

Интересную работу представили и трое других молодых математиков. Они исследовали, как в числовых множествах неизбежно возникают упорядоченные структуры . Ученые смогли точнее определить, при каком размере множества в нем обязательно появятся равномерные числовые узоры. Это первый за десятилетия шаг вперед в решении так называемой "задачи Семереди".

Еще одно достижение - работа Гектора Пастена . Он изучал последовательность чисел 2, 5, 10, 17, 26 и дальше — то есть числа вида n² + 1. Его исследование раскрыло неожиданные связи между сложением и умножением. Кроме того, Пастену удалось получить новые результаты для гипотезы abc — одной из важнейших и самых спорных проблем современной математики.

До окончательного решения этих вопросов пока далеко. Но каждый маленький шаг вперед дает математикам новые инструменты и открывает неожиданные подходы к старым проблемам. Что принесет 2025 год — покажет время.