Формулы, растущие в саду: история величайшего математического сюрприза

В июне 1978 года Роджер Апери, французский математик, выступил на конференции Национального центра научных исследований Франции с докладом «О иррациональности ζ(3)». Его выступление вызвало сенсацию: Апери заявил, что решил задачу, которая оставалась неразрешённой более 200 лет. Однако сразу поверить в это смогли далеко не все.

Значение ζ(3), известное как постоянная Апери , — это особое значение дзета-функции Римана . Над этой проблемой в XVIII веке работал Леонард Эйлер, но, несмотря на свой гений, он не смог доказать её иррациональность. Роджер Апери, малоизвестный математик, на тот момент уже в возрасте 60 лет, неожиданно заявил, что решил эту загадку. Его утверждение встретили с большим скептицизмом.

Первая реакция: недоверие и сомнения

Лекция Апери, прочитанная на французском языке, не смогла сразу убедить слушателей. Его манера изложения, включавшая шутки и пропуски важных деталей доказательства, лишь усилила сомнения. Уже в начале лекции он записал уравнение, которое никто из присутствующих ранее не видел, но которое являлось ключевым для его доказательства. На вопрос, откуда он взял это уравнение, Апери якобы ответил: «Они растут у меня в саду». Эта фраза вызвала недоумение, и многие из аудитории покинули зал.

Однако один из участников имел с собой электронный калькулятор — редкость на тот момент. Он смог быстро проверить уравнение Апери и подтвердить его правильность. Это вернуло внимание зала к выступлению. Один из слушателей, австралийский математик Альфред ван дер Портен, позже описал его работу как «смесь чудес и загадок».

Доказательство, изменившее математику

Потребовалось несколько недель, чтобы эксперты смогли разобраться в доказательстве Апери. Сам математик лишь усложнял задачу: во время одной из встреч он неожиданно начал говорить о состоянии французского языка вместо обсуждения сути доказательства. Тем не менее спустя два месяца стало ясно, что Апери действительно доказал: ζ(3) — иррациональное число.

Его работа опиралась на ранее неизвестное представление ζ(3) через ряд, который он использовал для выполнения условия иррациональности, установленного немецким математиком Густавом Леженом Дирихле в XIX веке. Это условие означает, что число χ является иррациональным, если его можно бесконечно приближать дробями, но ни одна из них не равна χ точно.

История дзета-функции

Интерес к дзета-функции начался задолго до открытия Апери. В 1644 году итальянский математик Пьетро Менголи пытался найти сумму обратных квадратов всех чисел (1 + 1/4 + 1/9 + …). Он не смог решить эту задачу, как и многие другие учёные, включая семью Бернулли из Базеля. Спустя почти 90 лет Леонард Эйлер, которому на тот момент было 27 лет, решил задачу, названную позже базельской, и вычислил, что ζ(2) = π²/6.

Эйлер пошёл дальше и нашёл решение для ζ(s), где s = 2k (чётные числа). Он доказал, что для этих значений результат всегда иррационален. Однако с нечётными значениями, такими как ζ(3), он столкнулся с проблемами. Эйлер смог вычислить первые десятичные знаки, но не определить точное значение или иррациональность.

Современное значение дзета-функции

В XIX веке Бернхард Риман расширил ζ(s) на комплексные числа, что позволило ему сформулировать знаменитую гипотезу Римана. Эта гипотеза, связанная с распределением простых чисел, до сих пор остаётся одной из самых сложных задач математики. Она имеет ключевое значение для теории чисел и криптографии, где генерация простых чисел лежит в основе шифрования. Решение гипотезы Римана принесёт награду в миллион долларов.

Несмотря на внимание к дзета-функции, значение ζ(3) оставалось неразрешённой загадкой. Её важность возросла в XX веке, когда она появилась в физических исследованиях.

Физика и постоянная Апери

В середине XX века в физике были разработаны квантовые теории, которые коренным образом изменили представления о природе. Одним из ключевых открытий стало понятие квантовой электродинамики. Согласно ей, даже вакуум не является пустым: в нём постоянно возникают короткоживущие пары частица-античастица, которые мгновенно аннигилируют.

Эти процессы влияют на электродинамические взаимодействия, например, на рассеяние электронов. Для их описания необходимо учитывать сумму обратных кубов чисел, то есть ζ(3). Для физических расчётов достаточно знать несколько десятичных знаков ζ(3), но математики стремятся к более глубокому пониманию числа.

Наследие Апери

Работа Роджера Апери доказала иррациональность ζ(3) и увековечила его имя. Теперь это значение называют постоянной Апери. Тем не менее задачи, связанные с ζ(3), не решены полностью. Математики стремятся найти выражение, подобное тому, что Эйлер нашёл для ζ(2). Но пока эта мечта остаётся недостижимой.