Геометрическая головоломка длиной в столетие: что скрывают диаграммы Венна

В книге своей "Математическая вселенная" Уильям Данэм дает любопытную оценку наследию Джона Венна - английского логика и философа, жившего более 100 лет назад. По мнению автора, ни один математик за всю историю науки не прославился столь сильно за столь скромный вклад, как создатель знаменитых диаграмм с пересекающимися кругами, то есть диаграмм Венна. Впрочем, он явно недооценивает значимость изобретения, которое вышло далеко за пределы школьных учебников и прочно обосновалось в мире инфографики, научных публикаций и даже интернет-мемов.

За внешней простотой диаграмм Венна скрываются удивительные геометрические парадоксы. Один из них связан с принципиальным ограничением: никак нельзя начертить правильную схему из четырех пересекающихся окружностей так, чтобы она отражала все возможные сочетания множеств. Этот факт, который обнаружил сам Венн, положил начало математическим исследованиям, не прекращающимся и сегодня.

Свое изобретение Венн представил научному миру в 1880 году как инструмент для наглядного представления логических концепций. Позднее диаграммы нашли применение в теории множеств – области математики, где изучаются свойства и взаимосвязи различных наборов объектов. Принцип их устройства понятен интуитивно: каждая окружность обозначает какое-либо множество, будь то "мягкие игрушки" или "мюзиклы Бродвея", а там, где круги накладываются друг на друга, находятся элементы, относящиеся сразу к нескольким категориям – например, "кошки" в пересечении "пушистых" и "домашних животных".

Эффективность метода хорошо видна на примере задачи о том, каких гостей пригласить на праздник, учитывая их взаимные симпатии и антипатии. Представим: Уилма придет только вместе с Фредом. Появление Барни требует присутствия хотя бы еще одного гостя. Сам Барни откажется от встречи, если там будет Уилма, но непременно придет в ее отсутствие. При этом если на вечеринке окажутся и Фред, и Барни, то обязательно появится Уилма. В текстовом виде условия выглядят запутанно, но стоит изобразить диаграмму – и всё проясняется: каждое ограничение отсекает определенные варианты (на схеме они затемнены). Вот так это может выглядеть:

При попытке построить схему для четырех множеств математики столкнулись с неожиданным препятствием. В такой конструкции невозможно выделить области, где пересекались бы только множества A и C или только B и D, не захватывая остальные. Как ни пытайся расположить окружности, эту проблему не решить – она коренится в самой природе четырехкруговых диаграмм.

Математическое обоснование этого феномена лежит в законах геометрии. Одна окружность делит плоскость на две зоны – внутреннюю и внешнюю. С появлением второй число возможных комбинаций удваивается, что требует вдвое больше областей. Для этого вторая окружность должна пересечь первую ровно в двух точках – одной точки касания недостаточно, так как получилось бы лишь три зоны вместо нужных четырех (первое множество, второе множество и их общая часть).

Когда добавляется новая окружность, действует строгое правило: число областей должно удваиваться, чтобы отразить все логические варианты. Но количество новых зон не может превысить число точек пересечения. Третья окружность успешно создает четыре дополнительные области благодаря шести точкам пересечения – по две с каждой из имеющихся линий. А вот с четвертой возникает противоречие: для полноты картины нужно восемь новых областей, тогда как геометрически возможно получить только шесть точек пересечения.

Чтобы решить проблему, Джон Венн предложил использовать эллипсы. У них есть важное преимущество: две фигуры могут пересекаться в четырех точках, что позволяет создать правильные диаграммы для четырех и даже пяти множеств. Впрочем, и этот метод имеет свой предел – при дальнейшем увеличении числа элементов эллипсы тоже перестают справляться с задачей.

В качестве альтернативы можно было бы использовать фигуры иной формы. Например, провести извилистую линию через схему с тремя окружностями так, чтобы она образовала все нужные зоны. Можно даже перейти в трехмерное пространство и работать с пересекающимися сферами. Однако такие решения лишают метод Венна его главного достоинства – наглядности и легкости восприятия.

На протяжении многих лет математики, включая самого автора и его последователей, считали невозможным построить диаграмму из пяти эллипсов с необходимыми 32 областями. Лишь в 1975 году Бранко Грюнбаум опроверг это заблуждение, представив вот такую конструкцию:

Творение Грюнбаума обладает удивительным свойством: при повороте на пятую часть полного оборота фигура идеально накладывается сама на себя. Такая ротационная симметрия присуща и классическим диаграммам – с двумя окружностями при повороте на 180 градусов и с тремя при повороте на 120 градусов. Однако четырехэллипсный вариант этим свойством не обладает.

В 1960 году первокурсник Суортмор-колледжа Дэвид У. Хендерсон сделал неожиданное открытие: симметричные диаграммы Венна можно построить только для простого числа множеств – то есть такого, которое делится лишь на единицу и само себя. Это объясняет, почему симметрия возможна для двух, трех и пяти множеств, но недостижима для четырех. Позднее математики Стэн Вагон и Питер Уэбб дополнили работу Хендерсона, доказав, что наличие простого числа – обязательное условие для существования симметричной модели.

Открытие Хендерсона породило своеобразное соперничество среди математиков, каждый из которых стремился создать симметричные схемы для все более крупных простых чисел. Особенно впечатляет работа Петера Гамбургера, сумевшего построить изящную схему для одиннадцати множеств.

Изобретение Венна наглядно показывает, как внешне простой способ визуализации рождает сложные математические задачи, объединяющие логику, геометрию и теорию множеств. Его изучение не только раскрывает новые грани математической гармонии, но и демонстрирует неожиданные связи между разными разделами науки.