Простые числа с секретом: как математики ищут закономерности в бесконечности

Математика, которую человечество изучает тысячелетиями, продолжает удивлять исследователей новыми загадками. Особый интерес представляют простые числа, делящиеся только на единицу и на самих себя – они считаются атомами теории чисел и лежат в основе многих математических концепций.

Например, 2, 3, 5, 7, 11 – простые, поскольку их нельзя разложить на другие множители. А вот 4 (делится на 2), 6 (делится на 2 и 3), 8 (делится на 2 и 4) простыми не являются.

История одного необычного математического исследования началась с забавного случая. Александр Гротендик, один из величайших математиков XX века, во время научной дискуссии попал в неловкую ситуацию. Когда коллеги попросили его назвать любое простое число, он выбрал 57. Ответ вызвал улыбки, ведь 57 – не простое число, оно делится на 3 (57 = 3 × 19). Для математика такого уровня это было очень неприятной оплошностью, и с тех пор в научном сообществе 57 шутливо называют "простым числом Гротендика".

За обедом между другими известными математиками - Армандом Борелем и Фрименом Дайсоном состоялся разговор, который подслушал их коллега Нил Слоун. Борель обратился к Дайсону с той же просьбой – назвать простое число. В отличие от Гротендика, Дайсон не ошибся и назвал 2³¹ - 1, которое действительно нельзя разложить на множители. Но Борель хотел чего-то более впечатляющего и попросил назвать все цифры какого-нибудь большого простого числа. Пока Дайсон размышлял над ответом, в разговор неожиданно вступил Слоун, произнеся необычную последовательность: "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1".

То, что звучало как счет до 10 и обратно, оказалось двадцатизначным числом 12 345 678 910 987 654 321, и оно действительно является простым. И красота его, конечно же, заключается в особой структуре: это своего рода математический палиндром. Находка положила начало новому классу математических объектов, которые Слоун назвал "запоминающимися" простыми числами. Их можно записать по общему правилу: 123...(n-1)n(n-1)...321, где n – натуральное число.

Для Слоуна работа с числовыми закономерностями стала делом жизни. Еще в 1964 году он начал собирать базу данных удивительных последовательностей – от самых простых до невероятно сложных. Постепенно его картотека превратилась в полноценный справочник, а в 1996 году переросла в настоящую сокровищницу математических знаний – Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей (OEIS). Сегодня на этой площадке математики со всего мира вместе разгадывают тайны, выдвигают новые гипотезы и делятся находками. Сам Слоун постоянно подбрасывает коллегам интересные задачки для размышления.

2015 год принес неожиданное открытие. Индийский инженер Шьям Сундер Гупта, который с юных лет увлекается математикой, нашел второй пример запоминающегося простого числа, взяв n = 2 446. Вместо того чтобы публиковать статью в научном журнале, он поделился находкой в тематической рассылке для исследователей. Обнаруженное Гуптой число поражает воображение – в нем целых 17 350 цифр.

Важно сказать, что концепция не только теоретикам. Гупта отмечает её потенциал для криптографии, где простые числа служат основой защищенной связи. Их понятная структура может стать дополнительным преимуществом на практике.

Математическое сообщество тщательно исследовало все возможные значения n до 60,000. Однако, кроме двух известных случаев (n = 10 и n = 2,446), новых запоминающихся простых чисел найти не удалось. Многие специалисты верят в существование других примеров, хотя доказательств пока нет.

В пользу существования бесконечного множества таких чисел говорит теория вероятностей. Математики предполагают, что простые числа распределены вдоль числовой прямой случайным образом. Это позволяет оценить шансы, что число определенного вида (в данном случае палиндром 123...321) окажется простым.

В сентябре 2015 года Слоун предложил искать другой тип математических объектов – числа Смарандаке. Их структура проще: цифры просто возрастают до конечного значения n: 123...(n-2)(n-1)n. Правда, есть важное ограничение: результат не может заканчиваться четной цифрой или пятеркой. Это сразу отсекает 60% возможных вариантов.

За дело взялись участники проекта Great Internet Mersenne Prime Search – сообщества энтузиастов, которые используют свои компьютеры для математических вычислений. Новую инициативу назвали Great Smarandache PRPrime search. Однако после того как были проверены все варианты до n = 10⁶, поиски пришлось свернуть – нужных чисел найти не удалось.

Специалист по компьютерным вычислениям Эрнст Майер подошел к вопросу с другой стороны. Его расчеты показали: в диапазоне до n = 10⁶ должно найтись хотя бы одно число Смарандаке – точнее, 0,6 числа. На канале Numberphile Слоун рассказал об этом исследовании, призывая математиков не опускать руки. Ведь если теория верна, искомое число точно существует.

Параллельно, в 2015 году, Слоун предложил новое направление поисков своему коллеге, биоинформатику Сержу Баталову. Речь шла об обратных числах Смарандаке. На тот момент было известно только два таких примера: 82818079...321 и 3776537764...321. Их главная особенность в том, что они обязательно оканчиваются на единицу.

В 2023 году программист Тайлер Басби внес важный вклад в исследование. Он доказал, что для третьего простого числа в последовательности параметр n должен быть больше 84,300.

Профессионалы пока не проявляют большого интереса к этой задаче – она не сулит немедленных прорывов в теории чисел. Но это не останавливает энтузиастов. Шьям Сундер Гупта продолжает работу, находя все новые примеры больших чисел с красивой структурой. А Нил Слоун в свои 85 лет по-прежнему вдохновляет молодых исследователей на поиски математических сокровищ.