Укротить бесконечность: математики доказали гипотезу Маккея спустя 50 лет поисков

В 2003 году молодой математик Бритта Шпет поступила в аспирантуру Университета Касселя, где под руководством Гюнтера Малле начала работу над одной из самых сложных нерешенных задач в теории групп – гипотезой Маккея. Изначально она рассчитывала доказать одну-две теоремы, которые помогли бы продвинуться в понимании проблемы, как это делали многие математики до нее. Но сама гипотеза оказалась настолько захватывающей, что определила весь её дальнейший путь в науке.

У Шпет уже был опыт работы над сложными математическими головоломками: еще в школе она могла неделями биться над одной задачей, ища нестандартные подходы к решению. "Когда я пыталась сосредоточиться на чем-то другом, оно просто не складывалось", – вспоминает исследовательница. Хотя одержимость сложнейшей задачей могла навредить академической карьере, Шпет решила рискнуть.

За годы обучения она глубоко погрузилась в изучение представлений групп – важнейшего раздела абстрактной алгебры. После защиты диссертации, в 2010 году, Шпет начала работать в Парижском университете, где познакомилась с Марком Кабанесом – экспертом по тем самым группам, которые были ключом к доказательству. Кабанес поначалу скептически относился к амбициозным планам молодой коллеги, однако постепенно проблема захватила и его – исследователи стали работать вместе, позже создали семью и даже оборудовали дома три доски для математических выкладок.

Но что же представляет собой гипотеза, которой эти люди посвятили столько лет? В её основе лежит один из фундаментальных принципов математики: часто для понимания сложнейших абстрактных объектов достаточно изучить лишь их небольшой фрагмент. История знает немало примеров, когда правило срабатывало “на ура”. Еще в III веке до нашей эры греческий математик Эратосфен смог вычислить длину окружности Земли – примерно 40 тысяч километров – измерив лишь тени от солнца в двух городах, расположенных на расстоянии около 800 километров друг от друга.

Такую же схему используют при изучении сложных функций: часто достаточно проанализировать, как функция ведет себя при небольшом наборе входных значений, чтобы понять её поведение для любых возможных параметров. Концепция, которую изучали Бритта и Марк предполагает нечто подобное для групп – одних из важнейших объектов современной математики.

Группы описывают симметрии и закономерности в самых разных системах: от кристаллической решетки до элементарных частиц. По сути, это набор элементов с определенным правилом их взаимодействия, которое сохраняет некоторые свойства системы неизменными.

Автором открытия, сделанного в 1972 году, стал Джон Маккей – необычный математик из Университета Конкордия, известный своей способностью находить неожиданные числовые закономерности. Его коллеги вспоминают "блестящего, немногословного и очаровательно неорганизованного" ученого, который уже прославился гипотезой о "чудовищной луне" – она установила удивительную связь между особой группой симметрий и специальными функциями из теории чисел.

На этот раз Маккей занялся изучением конечных групп – тех, что содержат ограниченное число элементов. Работая с ними, он заметил поразительную закономерность. Оказалось, что многие важные свойства группы можно определить, изучив только небольшую её часть, построенную особым образом.

Чтобы понять суть исследования, представим группу из 72 элементов. Само по себе число 72 мало что говорит о структуре группы – существует ровно 50 различных групп такого размера, и все они могут быть устроены совершенно по-разному. Однако Маккей обратил внимание на то, как это число раскладывается на простые множители: 72 = 2×2×2×3×3, или 2³×3².

То есть разложение – ключ к пониманию внутреннего устройства группы. Каждое простое число в нем (в данном случае 2 и 3) определяет важную подструктуру. Группу можно разбить на меньшие части – подгруппы, размер которых соответствует степеням этих простых чисел. В нашем примере это подгруппы из восьми (2³) и девяти (3²) элементов.

Особенно ученого заинтересовали более сложные структуры – нормализаторы Силова. Они получаются, если взять подгруппу и добавить к ней определенные элементы из исходной группы – те, которые особым образом с ней взаимодействуют. В наборе из 72 элементов можно построить несколько таких нормализаторов: одни связаны с подгруппами размера восемь (их называют 2-нормализаторами Силова), другие – с подгруппами размера девять (3-нормализаторы).

Итак, Маккей предположил нечто удивительное: для подсчета важнейшей характеристики группы достаточно посмотреть на один из ее нормализаторов Силова. У обоих объектов эта характеристика окажется абсолютно одинаковой. Речь идет о количестве определенных типов "представлений" – способов переписать элементы группы с помощью числовых матриц. Этот показатель - не просто статистика: он помогает понять, как элементы группы связаны между собой, и участвует в расчетах других важных свойств.

На первый взгляд такое совпадение кажется невозможным. Нормализатор может содержать меньше одного процента элементов большой группы и иметь совершенно другую структуру. "Все равно что на выборах в США общий подсчет голосов и результаты в каком-нибудь городке в Монтане дают абсолютно одинаковые пропорции, – поясняет Габриэль Наварро из Университета Валенсии. – Не похожие, не примерно такие же. А в точности одинаковые".

Через год после открытия закономерности математик Марти Айзекс сделал первый серьезный шаг – доказал, что она верна для большого класса групп. Но дальше исследователи зашли в тупик. Они могли показать, что гипотеза работает для отдельных групп, но оставалось еще бесконечно много неохваченных случаев.

Следующий прорыв произошел в 2004 году и был связан с завершением грандиозного математического проекта, над которым ученые трудились больше века. Они наконец создали полную классификацию всех простых конечных групп – базовых структур, из которых, как из кирпичиков, можно построить любую конечную группу. После тысяч доказательств математики пришли к удивительному выводу: все такие "кирпичики" можно разделить на четыре типа.

Первые три типа образуют естественные семейства групп с четкими закономерностями. К ним относятся циклические группы простого порядка, знакопеременные группы и группы типа Ли – особые структуры, тесно связанные с геометрическими симметриями. А вот 26 оставшихся групп не вписываются ни в одну систему – исключительные случаи, каждый из которых уникален по своей природе.

Именно эта классификация позволила Айзексу, Наварро и Малле найти новый подход к гипотезе Маккея. Они поняли: если доказать более сильное утверждение для простых групп из новой классификации, гипотеза автоматически окажется верной для всех конечных групп вообще.

Суть идеи заключалась в том, что представления группы и ее нормализатора Силова должны не просто совпадать по количеству – между ними должна существовать особая связь. Каждому представлению группы должно соответствовать представление нормализатора с такими же ключевыми характеристиками: размерностью, характером и поведением при определенных операциях.

Подход сработал для большинства случаев, но одна категория групп упорно не поддавалась решению – группы типа Ли. Структуры, названные в честь норвежского математика Софуса Ли, описывают непрерывные симметрии геометрических объектов. Их представления настолько сложны, что для их изучения пришлось привлекать теории из самых разных областей математики: от алгебраической геометрии до теории характеров.

Именно здесь пригодилась глубокая интуиция Шпет. К 2018 году вместе с мужем они доказали гипотезу для трех из четырех категорий групп типа Ли. Последний случай занял еще шесть лет.

"Четвертый тип групп Ли таил столько сложностей, столько неприятных сюрпризов", – вспоминает Шпет. Работу осложнила пандемия 2020 года. Но постепенно математики смогли показать, что количество представлений для каждой группы действительно совпадает с представлениями их нормализаторов Силова, а способ их соответствия удовлетворяет всем необходимым правилам.

В октябре 2023 года они представили доказательство более чем сотне математиков, а через год работа появилась в открытом доступе . Впрочем, главная загадка остается нераскрытой: почему вообще существует такое странное совпадение, замеченное Маккеем? Хотя теперь мы знаем, что оно действительно есть, исследователи все еще не понимают, почему такой маленький фрагмент может рассказать так много о большой группе.

Сама Бритта Шпет признается, что пока не нашла задачу, которая захватила бы ее так же сильно. "Когда ты сделал что-то настолько масштабное, трудно найти смелость и воодушевление для следующего шага, – говорит она. – Это была тяжелая борьба временами. Но она придавала смысла каждому дню".