Трёхмерная гипотеза Какеи доказана спустя 50 лет

Попробуйте взять карандаш и попытаться повернуть его так, чтобы он указывал во все возможные направления, при этом охватывая минимальную площадь на столе. Можно просто вращать карандаш вокруг его центра, описывая круг, но если сдвигать его особым образом, можно добиться гораздо лучшего результата.

«Это всего лишь задача о том, как пересекаются прямые линии, — говорит Джонатан Хикман, математик из Эдинбургского университета. — Но она содержит невероятное богатство идей и имеет удивительное количество связей с другими математическими проблемами».

На протяжении пятидесяти лет математики искали лучшее решение трёхмерной версии этой задачи: если взять карандаш, удерживаемый в воздухе, и попытаться повернуть его во всех направлениях, как можно сильнее минимизируя объём пространства, через которое он проходит? Эта простая на первый взгляд проблема озадачивала величайших математиков современности и была связана с целым рядом открытых вопросов.

Теперь, похоже, поиски завершены. В статье, недавно опубликованной на научном препринт-сервере arXiv, Хун Ван из Института математических наук Куранта при Нью-Йоркском университете и Джошуа Цаль из Университета Британской Колумбии доказали трёхмерную гипотезу Какеи . Они установили жёсткий предел минимального объёма, который требуется для того, чтобы направить объект во все стороны.

«Этой вещи не нужна дополнительная реклама, — говорит Нетс Кац, математик из Университета Райса. — Это результат раз в столетие».

Развитие задачи

В 1917 году японский математик Соити Какея задался этим вопросом, но рассматривал идеально тонкий карандаш. Он нашёл способ двигать его так, чтобы занимаемая площадь была меньше, чем при интуитивном круговом движении.

Какея заинтересовался тем, насколько минимальной может быть площадь, покрытая карандашом. Два года спустя российский математик Абрам Безикович нашёл удивительное решение: используя сложную комбинацию узких движений, можно добиться того, что площадь стремится к нулю.

Эта задача оставалась относительно исследованной, пока в 1971 году Роберт Фефферман не обнаружил её неожиданное появление в другой области — в теории преобразования Фурье. Эта фундаментальная математическая техника позволяет представить любую функцию как комбинацию волн, и в ходе работы с ней вновь всплыла проблема Какеи, но в трёх измерениях.

В этом варианте карандаш имеет толщину и вращается в пространстве. Вопрос теперь звучал так: как изменение толщины карандаша влияет на объём пространства, который он охватывает?

Математики предпочитают формулировать эту проблему по-другому. Вместо того чтобы отслеживать движение карандаша, они рассматривают все его возможные позиции сразу. Это приводит к формированию так называемого множества Какеи — конфигурации пересекающихся трубок, направленных во все стороны. Эти трубки можно передвигать, но нельзя вращать. Цель состоит в том, чтобы организовать их так, чтобы они накладывались друг на друга как можно больше.

Ключевой математический барьер

Хун Ван, одна из авторов доказательства, отмечает, что этот результат открывает новые горизонты в математике. «Это нужно было сделать», — говорит она.

Даже если трубки накладываются друг на друга максимально плотно, всё равно остаётся минимальный объём, который они занимают. Этот объём описывается числом, называемым размерностью Минковского. Чем меньше эта размерность, тем сильнее можно сократить объём множества, слегка утончив трубки.

Трёхмерная гипотеза Какеи утверждает, что размерность Минковского всегда должна быть равна 3. Это довольно слабое ограничение: если уменьшить толщину трубок в два раза, общий объём уменьшится совсем немного.

Тем не менее даже это ограничение оказалось чрезвычайно трудным для доказательства.

Прогресс шаг за шагом

В 2022 году, спустя пять десятилетий после появления современной формулировки гипотезы Какеи, Ван и Цаль совершили значительный прорыв. Они следовали программе, предложенной Нетсом Катцем и Терренсом Тао в 2014 году, и изучали особый класс множеств Какеи. В их доказательстве было показано, что множества из этого класса действительно имеют размерность 3 как по Минковскому, так и по Хаусдорфу. Оставалось доказать, что то же самое справедливо для всех остальных множеств Какеи.

Для этого они пошли пошаговым методом. Они рассмотрели узкий диапазон возможных значений размерности, например, от 2.5 до 2.6, и попытались доказать, что ни одно множество Какеи не может попасть в этот диапазон. Если удастся доказать это для всех таких диапазонов вплоть до 3, гипотеза будет окончательно решена.

К счастью, им не пришлось начинать с нуля. В 1995 году Том Вольф доказал, что размерность трёхмерного множества Какеи не может быть ниже 2.5. Однако теперь требовалось доказать, что значения между 2.5 и 2.500001 тоже невозможны, а затем — что невозможны значения 2.500002 и так далее.

На практике им не пришлось доказывать каждую такую ступеньку вручную. Достаточно было показать, что если какое-то значение невозможно, то невозможно и следующее чуть большее значение. Тогда можно было бы шаг за шагом дойти до 3.

Метод "зернистости"

В отличие от работы 2022 года, когда они следовали известному плану, теперь у Ван и Цаля не было чёткого пути. Они использовали новую стратегию, основанную на свойстве, называемом «зернистость».

В 2014 году математик Ларри Гут из Массачусетского технологического института доказал, что если гипотеза Какеи ложна, то множества-противоречия должны обладать особой «зернистостью». Это означает, что в таких множествах должны быть маленькие трёхмерные участки, где пересекаются множество трубок.

Ван и Цаль поняли, что можно вообще не использовать сами трубки, а рассматривать только эти зернистые участки. Оказалось, что вычислять их взаимные пересечения гораздо проще.

Даже если зернистые области пересекались максимально плотно, математики показали, что число таких пересечений в любой точке всё равно ограничено. Взяв за основу границу 2.5, они смогли шаг за шагом дойти до 3, окончательно доказав гипотезу Какеи.

Открытие, которое меняет науку

Решение гипотезы Какеи — это тектонический сдвиг в области гармонического анализа, изучающего преобразования Фурье.

Эта гипотеза была основой для трёх крупнейших открытых задач в этой области. Если бы гипотеза оказалась ложной, всё это здание математической теории могло рухнуть. Но теперь математики получили прочный фундамент и могут двигаться дальше.

«Теперь все проблемы, которые раньше казались невозможными, выглядят доступными», — говорит Гут.

Работа в этом направлении уже началась. Ван недавно стала соавтором статьи, где показала, что следующая гипотеза в этой иерархии сводится к усиленной версии доказанной ими гипотезы Какеи.

«Я чувствую, что это было необходимо. Это открывает совершенно новые возможности», — говорит Ван.