Записать конечным количеством символов невозможно: математик о природе пи

Ежегодно 14 марта по всему миру отмечается День числа пи, выбранный по дате, совпадающей с наиболее известным приближением числа π — 3.14. В этот день учёные, математики и любители науки напоминают о важности и уникальности этого загадочного числа.

Изначально число пи (π) определялось как отношение длины окружности к её диаметру. Однако его применение простирается далеко за пределы геометрии и встречается в совершенно неожиданных областях, таких как химия, физические науки и медицина, где оно напрямую с кругами никак не связано.

Число пи принадлежит к большой группе математических объектов, известных как иррациональные числа. Это значит, что их десятичное представление бесконечно и они не могут быть точно выражены в виде дробей. В настоящее время учёные вычислили значение пи до 105 триллионов цифр после запятой, хотя большинству людей знакома его упрощённая форма 3,14. Но как же математики узнали, что пи — это именно иррациональное число?

Рациональные числа, которыми мы чаще всего пользуемся в повседневной жизни, могут быть выражены в виде дроби, где одно целое число делится на другое. Пи, со своей бесконечной последовательностью цифр после запятой, явно не вписывается в эту категорию на первый взгляд.

Математик Вадим Зудилин из Университета Радбуда в Нидерландах поясняет: «Рациональность — это практическое свойство, подразумевающее явный доступ к числу без какого-либо приближения, другими словами, возможность записать число конечным количеством символов».

Однако доказательство того, что пи нельзя записать в виде дроби, оказывается крайне непростой задачей. Математики не имеют универсального метода для демонстрации иррациональности конкретного числа, поэтому для каждого отдельного случая им приходится разрабатывать уникальные доказательства. «Как доказать, что число не является дробью? — отмечает математик Кит Конрад из Университета Коннектикута. — Нужно подтвердить отрицательное утверждение».

Тем не менее, на протяжении последних 300 лет математикам удалось сформировать различные доказательства иррациональности числа пи, задействовав методы из самых разных разделов математики. Каждое такое доказательство начинается с предположения, что пи — рациональное число, и записывается в виде дроби. В ходе последовательных математических операций и выводов, связанных с предполагаемыми значениями этой дроби, в конечном счёте возникает противоречие, которое опровергает исходное предположение. Таким образом, устанавливается иррациональность пи.

Часто подобные доказательства используют сложные математические инструменты, требующие глубокого понимания университетского курса по высшей математике, тригонометрии и бесконечным рядам. Однако общий принцип всегда остаётся одним и тем же — это метод доказательства от противного.

«Есть доказательства, использующие математический анализ и тригонометрические функции, — объясняет Конрад. — В некоторых случаях число пи определяется как первое положительное решение уравнения sin(x) = 0. Первое такое доказательство было предложено Ламбертом ещё в 1760-х годах и основывалось на бесконечных цепных дробях».

С другой стороны, доказательство иррациональности пи можно получить и через другую его важную характеристику. Число пи относится к трансцендентным числам — это особый класс чисел, которые не могут являться корнями какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Поскольку любое трансцендентное число является одновременно и иррациональным, доказательство трансцендентности числа пи автоматически подтверждает его иррациональность.

«Используя методы математического анализа с комплексными числами, можно доказать трансцендентность пи, — отмечает Конрад. — Доказательство базируется на знаменитом уравнении, известном как тождество Эйлера: e^(iπ) + 1 = 0».

Хотя универсальная важность числа пи отчасти и связана с его иррациональностью, для практических целей обычно хватает семи-восьми знаков после запятой. Например, даже NASA в своих вычислениях использует всего 16 знаков.

«Мы используем приближённое значение для практических задач, например, 3.1415926 — и это уже достаточно много информации, — подчёркивает Зудилин. — Но, конечно, для математики этого недостаточно. Нам важно знать саму природу числа».