"Кратность один" подтверждена: математики раскрыли элегантность исчезающих форм

Представьте себе кубик льда, плавающий в стакане воды. Со временем он тает, постепенно уменьшаясь до едва заметной капли, пока не исчезнет совсем. По мере таяния его поверхность становится всё более гладкой — исчезают шероховатости и острые края. Математиков интересует, как именно происходит этот процесс: как со временем меняется форма льда, песчаного замка или любой другой поверхности, подвергающейся эрозии. Чтобы это понять, они изучают, как развиваются абстрактные поверхности и формы по определённым математическим правилам.

Эти правила описывают явление, известное как поток среднего кривизны. Оно одновременно сглаживает поверхность — даже очень неровную — и постепенно уменьшает её. Однако в процессе могут возникать сингулярности — точки, в которых математическое описание «ломается»: поверхность может резко выдаваться наружу или сужаться до такой степени, что её кривизна становится бесконечной. Особенно это касается замкнутых поверхностей вроде сферы — у них возникновение сингулярности практически неизбежно.

Когда такие особенности становятся слишком сложными, дальнейшее применение потока среднего кривизны становится невозможным. Чтобы преодолеть эту проблему, ещё в 1995 году математик Том Илманен выдвинул гипотезу о «кратности один» (multiplicity-one conjecture). Она утверждала, что возникающие сингулярности всегда достаточно просты. Самое «плохое» поведение должно ограничиваться отдельными точками: например, никогда не должно быть случаев, когда несколько участков одной или разных поверхностей накладываются друг на друга.

Если гипотеза верна, то даже в случае появления сингулярности поток можно продолжать — а значит, можно и дальше исследовать, как будет эволюционировать поверхность. Это сделало бы гипотезу фундаментальной для всей теории.

За последние десятилетия математики значительно продвинулись в изучении поведения поверхностей в потоке среднего кривизны, но почти все достижения зависели от предположения, что гипотеза о кратности один действительно верна. По словам Ричарда Бамлера из Калифорнийского университета в Беркли, это была главная непреодолимая преграда — «бутылочное горлышко» в теории.

Теперь он и Брюс Клейнер из Нью-Йоркского университета доказали, что гипотеза Илманена действительно верна . Это открытие стало прорывом, который не только позволяет по-новому взглянуть на поток среднего кривизны, но и открывает новые горизонты в геометрии и топологии.

Изначально эта идея была предложена для объяснения процессов, происходящих в металлах при их охлаждении. В 1978 году математик Кеннет Бракке придал ей строгую форму. Он создал модель, которую можно применять к поверхностям и формам любой размерности. В центре внимания гипотезы о кратности один находятся замкнутые двумерные поверхности — сферы, тора и другие объекты, существующие в трёхмерном пространстве.

Поток среднего кривизны работает по простому принципу: каждый участок поверхности движется со скоростью, равной её средней кривизне, и строго перпендикулярно касательной плоскости в этой точке. Вогнутые части движутся наружу, выпуклые — внутрь. Таким образом, поверхность постоянно стремится стать более гладкой и простой по форме. Например, сфера будет постепенно уменьшаться, сохраняя идеальную форму, пока не исчезнет в одной точке.

Даже если поверхность вначале неровная — скажем, мятый футбольный мяч — поток постепенно «выправит» её, превратив в почти идеальную сферу, которая затем также схлопнется в точку. Цилиндр превратится в линию, тор — в окружность. А вот если взять более сложную форму, например гантелю, у которой есть узкое соединение посередине, то во время потока эта «талия» сожмётся до нуля, вызвав сингулярность: в этом месте поверхность становится бесконечно изогнутой. Уравнения перестают работать, потому что «бесконечность» в них подставить невозможно. Но если мысленно вырезать эту точку, получится две каплевидные части, которые можно продолжать изучать — каждая из них будет уменьшаться и становиться всё более похожей на сферу.

Такие простые сингулярности не мешают анализу. А вот более сложные случаи — когда участки поверхности складываются друг с другом — могут сделать продолжение потока невозможным. Именно такие «кошмарные сценарии» Илманен и хотел исключить своей гипотезой. Чтобы доказать её, Бамлер и Клейнер придумали воображаемую фигуру: две сферы, вложенные друг в друга и соединённые узкой перемычкой — нечто вроде «злого катеноида». Если бы перемычка сжалась так быстро, что сферы слиплись, это и было бы самым неприятным сценарием. Учёные хотели доказать, что такого быть не может.

Они разбили сложную поверхность на «строительные блоки» — области, похожие на параллельные листы или минимальные поверхности (те, у которых средняя кривизна равна нулю и которые не изменяются в процессе потока). Затем они ввели специальную функцию, измеряющую расстояние от каждой точки до ближайшего соседнего блока, и показали, что это расстояние никогда не становится нулевым. Значит, слипание исключено.

Метод оказался универсальным для всех замкнутых поверхностей, даже если на отдельных участках они выглядят очень сложно. В таких местах влияние на поведение всей поверхности оказывается минимальным и не мешает течению. Иначе говоря, сингулярности могут появляться, но они не приводят к сложным или неконтролируемым ситуациям. Гипотеза Илманена подтверждена.

Более того, математики доказали, что в подавляющем большинстве случаев возможны только два типа сингулярностей: сжатие сферы до точки или коллапс цилиндра в линию. Все остальные случаи настолько нестабильны, что исчезают при малейших изменениях формы.

Теперь, когда гипотеза о кратности один доказана, учёные фактически завершили описание поведения поверхностей в потоке среднего кривизны в трёхмерном пространстве. Это может иметь значение для топологии и геометрии, особенно если удастся доказать аналогичное утверждение для трёхмерных поверхностей в четырёхмерном пространстве — к этому уже приступили Бамлер и Клейнер, хотя понимают, что потребуется совершенно другой подход.

Уже сейчас их работа может помочь упростить доказательство так называемой гипотезы Смейла — утверждения о симметриях сфер, которое ранее удалось подтвердить только весьма сложными методами. Поток среднего кривизны теперь становится мощным инструментом в арсенале математики, как ранее поток Риччи, с помощью которого, напомним, было доказано знаменитое утверждение Пуанкаре.

По словам Брайана Уайта из Стэнфорда, работа Бамлера и Клейнера дала математикам гораздо больше понимания того, как именно возникают сингулярности. И теперь становится возможным использовать поток среднего кривизны для решения множества задач, которые ранее считались слишком трудными.