Игла, которая сломала мозг: загадка Какеи решена

Математике редко приписывают «великолепный прорыв» или «результат века» — не потому что в ней ничего не происходит, а потому что сложные задачи требуют настолько новых подходов, что годы, а порой и десятилетия, уходят только на то, чтобы подступиться к решению. Так было и с гипотезой Какеи — внешне простым, но чрезвычайно трудным вопросом о том, как повернуть иголку в пространстве так, чтобы она заняла минимально возможный объём.

Гипотеза берёт начало ещё в 1917 году, когда японский математик Соитиро Какея задался задачей: сколько минимального места на плоскости нужно, чтобы иголка — бесконечно тонкий отрезок — смогла повернуться на 360 градусов, побывав во всех возможных направлениях? Если держать её в центре и просто вращать, она опишет круг. Но можно действовать хитрее — смещать и вращать одновременно, например, описывая фигуру, напоминающую треугольник с изогнутыми сторонами. В итоге оказалось, что если перемещать иголку особенно замысловато, как при параллельной парковке, можно вообще добиться нулевой площади.

Это открытие сделал математик Абрам Безикович, и с тех пор внимание переключилось на более тонкий вопрос: а какого размера — в смысле математической размерности — оказывается эта "нулевая" область? Ведь в математике есть объекты, имеющие дробные размерности, как фракталы, у которых, например, 1.5 измерения. С гипотезой Какеи связаны и более глубокие области — например, гармонический анализ и теория геометрических мер, которые играют ключевую роль в современной математике.

В 1971 году математик Рой Дэвис доказал, что в двумерном случае поверхность Какеи всё равно остаётся двухмерной, даже если её площадь равна нулю. Но для математиков этого было недостаточно: их интересовал общий случай — в n-мерных пространствах. Можно ли и там поворачивать иголку так, чтобы занимать менее чем n измерений? Эта общая гипотеза и получила имя Какеи.

Особенно трудно оказалось разобраться с трёхмерным случаем. На протяжении десятилетий исследователям удавалось лишь показать, что иголка в трёхмерном пространстве не может покрыть меньше, чем 2.5 измерения, но дальше дело не двигалось. До февраля этого года.

В препринте, опубликованном в этом месяце, математики Хон Ван из Нью-Йоркского университета и Джошуа Цаль из Университета Британской Колумбии заявили, что доказали гипотезу Какеи в трёхмерном пространстве. Они пошли шаг за шагом, последовательно исключая все случаи, в которых иголка могла бы занимать объём с размерностью меньше трёх. В итоге им удалось окончательно показать, что трёхмерная "иголка" при поворотах всегда покрывает пространство именно с полной размерностью — три.

«Это одно из важнейших математических достижений XXI века», — прокомментировал открытие математик Эяль Лубецкий из Нью-Йоркского университета. А его коллега Гвидо де Филиппис добавил: «Ожидаю, что их идеи приведут к целой серии новых прорывов в ближайшие годы».