Шах и мат, хаос: математики нашли единый код всех жидкостей Вселенной

В начале XX века математика и физика развивались во многом независимо друг от друга. Физики открывали новые законы природы, а математики создавали абстрактные теории, и связь между этими областями науки не всегда была очевидной. В 1900 году на Международном конгрессе математиков в парижской Сорбонне Давид Гильберт выступил с идеей, которая могла бы изменить расстановку сил. Он представил список из десяти фундаментальных задач, позже расширенный до двадцати трёх, решение которых должно было не только продвинуть математику вперёд, но и укрепить её связь с реальным миром.

Шестая проблема из списка Гильберта касалась самих основ физики. Учёный предложил найти минимальный набор математических правил, из которых можно было бы вывести все известные законы природы — от движения мельчайших частиц до поведения космических объектов. Такой подход получил название "аксиоматизация физики". Простыми словами, Гильберт хотел найти самые базовые математические принципы, лежащие в основе всех физических явлений, подобно тому как из нескольких аксиом геометрии можно вывести все теоремы о свойствах фигур.

В качестве первого шага к решению этой масштабной задачи Гильберт обратил внимание на работы австрийского исследователя Людвига Больцмана. Больцман пытался объяснить, как из хаотического движения отдельных молекул возникают наблюдаемые свойства газов — давление, температура, теплопроводность. Этот пример наглядно показывал, как можно связать явления микромира с тем, что мы наблюдаем в повседневной жизни.

Спустя более века, совсем недавно, группа американцев — Ю Дэн из Чикагского университета, Захер Хани и Сяо Ма из Мичиганского университета — сделала важный шаг к решению проблемы Гильберта. Они сосредоточились на изучении жидкостей, движение которых можно описывать тремя разными способами, в зависимости от того, насколько близко мы их рассматриваем.

Представьте, что вы наблюдаете за каплей воды. Если посмотреть на неё невооружённым глазом, то увидите просто статичную прозрачную жидкость. Но под микроскопом та же капля предстанет как множество отдельных молекул, находящихся в постоянном движении. Эти два взгляда на одну и ту же субстанцию породили разные математические описания её поведения.

На самом близком, микроскопическом уровне жидкость представляет собой множество частиц, похожих на крошечные бильярдные шары. Они движутся по законам, открытым ещё Ньютоном: сталкиваются друг с другом, отскакивают, меняют направление движения. Для каждой отдельной частицы можно точно рассчитать траекторию, зная её начальную скорость и положение. Но в одной капле воды таких частиц триллионы, и проследить за активностью каждой практически невозможно даже для самых мощных компьютеров.

Чтобы преодолеть эту сложность, в 1872 году Людвиг Больцман предложил гениальное решение. Вместо того чтобы следить за каждой частицей, он создал уравнение, описывающее поведение "типичной" частицы — усреднённое по всему множеству молекул. Подход, названный мезоскопическим (то есть промежуточным между микро- и макроуровнем), позволил вычислять такие важные характеристики жидкости, как теплопроводность и вязкость, не углубляясь в детали движения отдельных молекул.

На самом крупном, макроскопическом уровне жидкость рассматривается как непрерывная среда, без учёта её молекулярного строения. Здесь работают уравнения, открытые математиками Леонардом Эйлером и Клодом-Луи Навье совместно с Джорджем Стоксом. Они позволяют рассчитывать движение водных и воздушных потоков в масштабах от течения крови по сосудам до циркуляции воздушных масс в атмосфере. Именно эти формулы используют инженеры при проектировании самолётов и метеорологи при составлении прогнозов погоды.

Логика подсказывает, что все три способа описания жидкости должны быть взаимосвязаны — ведь они описывают одну и ту же реальность. Законы движения отдельных молекул должны приводить к уравнению Больцмана при рассмотрении их усреднённого поведения, а уравнение Больцмана, в свою очередь, должно объяснять закономерности движения жидкости как целого. Однако строго доказать эту связь математикам долгое время не удавалось.

Основная сложность заключалась в учёте длительных промежутков времени. В жидкости каждая молекула испытывает огромное количество столкновений, и влияние каждого удара сказывается на всей её дальнейшей "судьбе". При увеличении времени наблюдения количество таких взаимодействий растёт лавинообразно.

Работа команды из Чикагского и Мичиганского университетов привела к созданию принципиально нового способа анализа взаимодействий между частицами жидкости. Они разработали математический метод, учитывающий всю историю движения каждой частицы — от первого столкновения до последнего. Сложность состояла в том, что каждое новое соударение частиц меняет их траектории, создавая бесконечную цепочку взаимосвязанных событий. Учёным удалось доказать, что совокупное влияние всех прошлых столкновений остаётся ограниченным и предсказуемым даже спустя длительное время.

При построении доказательства исследователи пошли необычным путём: они рассмотрели мысленный эксперимент, где число частиц в жидкости растёт до бесконечности, а размер каждой частицы уменьшается практически до точки. В предельном случае поведение бесконечного множества бесконечно малых частиц в точности совпало с предсказаниями уравнения Больцмана. Впервые математики смогли показать, как законы движения отдельных молекул приводят к возникновению статистических закономерностей в масштабах всей жидкости.

Результаты группы дополнили существующие доказательства связи между уравнением Больцмана и макроскопическими уравнениями Эйлера и Навье-Стокса. Возникла полная картина перехода от движения отдельных молекул к крупномасштабным течениям жидкости. По сути, математики создали универсальный язык описания природы, одинаково хорошо работающий на всех уровнях — от микроскопического до макроскопического.

Значение открытия выходит далеко за пределы теории жидкостей. Разработанные методы могут помочь в понимании других физических явлений, где микроскопические процессы порождают наблюдаемые эффекты большого масштаба. Будь то квантовые эффекты, взаимодействие элементарных частиц или гравитационные поля — везде существует необходимость связать воедино разные уровни описания природы.