Укрощение случайности: новый взгляд на стохастические уравнения

Множество динамических процессов, таких как физические явления, изменения цен на акции или климатические модели, можно описать с помощью математических уравнений в частных производных . Даже при наличии случайных факторов, стохастика позволяет описывать эти процессы математически.

Исследователи, включая доктора Маркуса Темпельмайра из Кластера передового опыта "Математика" в Университете Мюнстера, разработали метод решения определенного класса стохастических уравнений в частных производных. Результаты их работы были опубликованы в журнале "Inventiones mathematicae".

Основой их работы стала теория профессора Мартина Хайера, лауреата медали Филдса, разработанная в 2014 году. Эта теория стала прорывом в исследовании сингулярных стохастических уравнений в частных производных, предоставив "инструментарий" для их решения.

Темпельмайр отметил, что теория Хайера довольно сложна, что затрудняет ее применение и адаптацию к различным ситуациям. В своей работе исследователи рассмотрели аспекты "инструментария" с другой стороны и разработали метод, который можно использовать более просто и гибко.

Исследование, в котором Темпельмайр участвовал в качестве докторанта под руководством профессора Феликса Отто в Институте математики Макса Планка, было опубликовано в 2021 году в виде препринта. С тех пор несколько исследовательских групп успешно применили этот альтернативный подход в своей работе.

Стохастические уравнения в частных производных могут моделировать широкий спектр динамических процессов, например, рост поверхностей бактерий, эволюцию тонких жидкостных пленок или взаимодействующие модели частиц в магнетизме. Однако в базовых математических исследованиях конкретные области применения не играют роли, так как всегда рассматривается один и тот же класс уравнений.

Математики сосредоточены на решении уравнений, несмотря на стохастические члены и вызванные ими сложности, такие как перекрывающиеся частоты, приводящие к резонансам. Для этого используются различные техники. В теории Хайера применяются методы, результатом которых становятся наглядные древовидные диаграммы. Исследователи же выбрали аналитический подход, сосредоточив внимание на изменениях решения уравнения при небольших изменениях стохастического процесса.

Подход заключался в решении множества простых уравнений и доказательстве некоторых утверждений о них. Затем решения простых уравнений комбинируются, что позволяет получить решение сложного уравнения. Этот подход используется и другими исследовательскими группами, работающими с различными методами.